3微商与微分
一级微商
给定一个函数，自变量的改变量趋于0时，应变量的改变量与自变量的改变量的比值叫微商。 可以看到，微商存在时，函数是连续的，反之则不一定。
下面介绍几个简单函数的微商：
下面证明其中一个，其他的可用同样的方法证明：
应用微商的基本定义，还可以定义复合函数的微商：
若y=f(x),z=g(y)，则 若y=f(x)，x=g(y),g是f的反函数，那么 应用上述法则可以得到一些简单函数的微商：
可以看到， 的积分为 。
一级微分
如果自变量的改变量记为dx或 ，相应的函数的改变量可记为dy，dx与x的取值不相关，只反映dx趋于无穷小的变化序列的取值需求。用公式表示为：
我们把微商的极限转化成导数与无穷小量之和：
可以看到，函数的微分与函数的改变量的差值是自变量无穷小改变量的高级无穷小量。也就是说，用了微分的记号可以省略极限的表达式，思想是完全一样的。
在实际做计算的时候，数据的测量总会存在一定的误差，我们通常需要考虑相对误差在一个可控的范围内，可以利用微分的思想进行估计。
例如，考虑乘积uv：
由于对称性，乘积和商的相对误差小于各因子的相对误差之和。
高级微商
沿着一级微商的思路，二级微商是一级微商的一级微商，是原函数的二级微商，以此类推，只要n-1级微商函数是可微的，那么n级微商就存在，二级微商记为y'',n级微商记为 。例子如下：
最后的公式可以看成是导数形式的牛顿二项式展开。
高级微分
注意，dx是常数，不依赖于x，所以不能求导。如果y是复合函数，自变量u依赖于x，则需要对du求导：
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