多个量子比特也可以使用狄拉克符号来表示。与数字比特类似，两个量子比特的计算基态有 4 种：00，01，10 和 11。它们的向量形式用狄拉克符号表示如下：
， ， ， 。

如果我们用 代表两个量子比特，其量子态可用下式表示：
，
其中 是一个 个元素的列向量， 到 分别是 4 个计算基态的概率幅。

此时，细心的读者会发现这里暗含了一个问题：这两个量子比特各自的概率幅又是多少？是否还满足归一化约束？

我们反过来看这个问题，如果系统由低位 和高位 两个量子比特构成，且它们的概率幅为： ， ，均满足归一化约束，那么这个两比特系统的量子态为：

，
易知整个系统也满足归一化约束：

【说明】 式中 运算符是「张量积」^[1]，其计算规则形象化描述就：是将右式整体复制到左式的每个元素的位置上展开，并与左式对应元素相乘。举例说明： 。
张量积有结合律：
，
但没有交换律，即下式不一定成立：

到目前为止我们介绍的量子态，无论是计算基态，还是叠加态，都可以用一个归一化的态向量来表示。其中，计算基态是单位向量（或基向量），叠加态则是由多个基向量线性组合而成。这些可以表示为一个或多个基向量线性组合的量子态，我们称之为「纯态」^[2]（相干叠加），例如：

，其中 表示对应量子态的概率。

多个量子比特所构成的系统还会出现一种更为神奇的现象：「纠缠态」^[3]。处于纠缠态的多量子系统，如果改变其中任何一个量子的态向量，都会使得其它量子的态向量同时被改变，这就是著名的「量子超距效应」^[4]。

处于纠缠态的量子系统中，其量子态由多个态向量以不同概率（注意是经典概率而不是概率幅）合成，我们称这种量子态为「混合态」^[5]，例如

即量子态 有50%的概率为 ，另50%的概率为 。看到这里，有的读者就会提出问题：那我们能不能也用一个态向量来表示混合态呢？

看起来，我们可以将概率的开方乘以各态向量，求和后再作归一化就得到了一个「综合」的量子态，即：
， 其中 （ 是指 的第 个元素）。并且如果我们对这个系统进行观测，所得每个结果的概率也符合该综合态向量的描述。

然而，这样的表示方法并不能表达出这种混合态的全部信息。例如：混合态是由 0.5 概率的 和 0.5 概率的 合成，用上面这种表达方式表示为： ，这看起来和纯态 是一样的，但实际上该混合态和纯态 确有着本质的区别。纯态 经过 Hadamard （后一章会介绍该算子）算子后，其 X 轴和 Z 轴会发生互换，变成 ，观测结果总是 1。而如果是该混合态经过 Hadmamard 算子后，50% 概率的 变成 ，另 50% 概率的 变成 ，观测结果将是 50% 概率的 0 和 50% 的 1。因此混合态不能用一个状态向量表示，否则就会丢失信息。（这一段没看懂没关系，可以学习完下一章后再倒回来就看懂了）

为了完整的表示混态的全部信息，我们引入「密度算符」^[6]的概念。假设一个量子比特 处于 各纯态的概率分别是 ，那么其密度算符为：
，

要判断一个密度算符 所代表的量子态是否为纯态，首先求得缩放比例因子 ，使得 ^[7]；然后令 ，若 则 为纯态，反之为混合态。

例如， ， （ ），
， ，故 为纯态。

再例如， ， ，
， ，故 为混合态。

练习（建议在搞懂之前不要继续阅读下一章）

1. 若 ， ，求 。
2. 令前面例子中的 ，试证明：若 则 。
3. 证明：若 （即 个 连续张量积），则有 。
4. 求纯态 的密度算符。
5. 求混和态 的状态向量。

参考

1. ^Tensor producthttps://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product
2. ^Pure statehttps://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_state#Pure_states
3. ^Quantum entanglementhttps://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_entanglement
4. ^Quantum nonlocalityhttps://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_nonlocality
5. ^Mixed stateshttps://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf
6. ^Density matrixhttps://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix
7. ^Tracehttps://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)