作者：Andy Matuschak 和 Michael Nielsen

编译：Florence Wong – AICUG

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我们已经看到了我们的第一个量子门，即非（NOT）或X门。当然，X似乎并没有超越传统的NOT门所能做的所有事情。在本节中，我介绍一个明显涉及量子效应的门，即Hadamard门。

与X门一样，我们将首先说明Hadamard门如何在计算基础状态下起作用。用H表示门，这是它的作用：

当然，∣0和∣1不是唯一的量子态。Hadamard门如何作用于更一般的量子态？

知道它像量子NOT门一样，线性起作用，这不会让您感到惊讶。特别是，Hadamard门将α∣0 + β∣1叠加到相应的输出叠加上：

真是一团糟。通过将∣0项以及∣1项组合在一起，可以减少混乱：

更好，但仍然不漂亮！幸运的是，我们基本上不会处理这种复杂的表达式。我在这里这样做的唯一原因是要明确。不去处理这样的表达式，我们将主要在电路和矩阵表示中使用H门（请参见下文）。这些使我们可以专注于抽象的一个更明朗的水准，而不是“瞎弄”关系系数。

确实，有关量子计算的许多工作，都是关于尝试开发，从抽象的低层次向更高的，概念的，层次发展的方法。到现在为止，我们的大部分工作都处于非常低的水平，似乎更多地是在线性代数中进行练习，而不是讨论新的计算模型。也许这很奇怪。毕竟，如果您要向某人讲解经典计算机，那么您将不会从AND和NOT门之类的“杂草”开始。您将从设计良好的高级编程语言开始，然后在不同的抽象层之间来回跳动。现代计算机不仅涉及逻辑闸，还至少涉及优美的高级想法：例如，懒惰的求值，高阶函数或谐音等等。

我希望我可以从量子计算机的高级抽象开始。但是，我们仍处于量子计算的早期，并且在大多数情况下，人类还没有发现这种高级抽象。人们仍在抓紧脚步，试图寻找好的想法。

这是一个令人兴奋的情况：这意味着几乎所有重大突破都在前面。从某种意义上说，我们对量子计算仍然了解甚少。这听起来可能令人惊讶：毕竟，关于该主题有很多很棒的教科书。但是，您可能在1940年代后期。就ENIAC计算机，已经写了一本很棒的大教科书。毕竟，这是一个非常复杂的系统。那本教科书本来看起来令人生畏，但它并不是计算的硬道理。在很大程度上，我们今天理解量子计算的方式类似于ENIAC，着眼于量子位和逻辑门以及线性代数的基本原理，并想知道更高层次的理解是什么。这种情况可以类似理解为，在那些导致诸如Lisp，Haskell，Prolog和Smalltalk之类语言产生的突破之前的编程语言设计。这使其成为了一个非凡的创造机会，这是未来几十个世纪的挑战。

说到基本要点，让我们回到Hadamard门。这是Hadamard门的电路表示。看起来就像电路图中的X门，只是我们将门标签更改为H：

就像X门一样，H具有矩阵表示形式：

要查看此矩阵表示的正确性，让我们检查矩阵在∣0和|∣1状态下的作用。在这里，我们检查∣0状态：

也就是说，该矩阵的作用与∣0状态下的Hadamard门相同。现在让我们检查∣1状态：

因此，矩阵在∣0和∣1状态下的行为与Hadamard门相同。通过矩阵乘法的线性，可以得出矩阵在所有输入状态下的行为与Hadamard相同，因此他们是相同的运算。

是什么使Hadamard门作为量子门很有趣？我们可以用它做什么？

我们没有足够的背景来为这些问题提供准确的答案。但是有一个类比可以提供洞察力。

想象一下，您在过去的数千年中一直生活在北非，并出于某种原因决定要进入伊比利亚半岛。如果您还没有船只，或其他可靠的方法来穿越大片水域，则需要一路穿越非洲，经过阿拉伯半岛，然后再穿越整个欧洲，再回到伊比利亚半岛：

照片来源：NASA地球观测站RetoStckli（2004年）。

但是，假设您发明了一种新设备，即船，它扩大了您可以穿越的位置范围。然后，您可以采取更直接的路线前往伊比利亚半岛，从而大大节省了时间：

Hadamard和类似门的作用是扩大计算机可能执行的操作范围。这种扩展使计算机可以采用快捷方式，因为计算机以传统的传统计算机无法实现的方式“移动”。而且，我们希望这可以使我们更快地解决一些计算问题。

另一个有用的类比是下棋。想象一下您在下棋，并且规则有所改变，这有利于您的“车”扩大行动范围。这种额外的灵活性，可以使您更快地实现将对方“将死”，因为您可以更快地到达新位置。

类似的事情，将会发生在Hadamard门。通过将我们可访问的状态范围（或更准确地说，我们可生成的动态操作范围）扩展到传统计算机上无法达到的范围，可以在我们的计算中采用捷径。

在后续的文章中，我们将看到示例。

为了更熟悉Hadamard门，让我们分析一个简单的电路：

这条电路是做什么的？

在进行计算之前，值得暂停一秒钟以尝试猜测结果。猜测的重点不是正确无误，而是挑战自己，去开始产生启发式思维模型，来思考量子电路中正在发生的事情。最初，这些思维模式可能不会很好，但是没关系–如果您继续这样做，它们会变得更好。

您可以使用以下一种启发式方法来思考此电路：您可以将H视为将∣0和∣1状态混合在一起的一种方式。因此，如果将H两次应用于|0，也许它将彻底混合∣0和|1。根据这种启发式方法，您认为会导致哪种状态？您相信结果吗？为什么或者为什么不？您能想到其他能帮助您猜测答案地启发方式吗？

好吧，让我们计算一下实际发生的情况。将第一个Hadamard应用于∣0之后，我们得到

然后，我们应用第二个Hadamard门。这将上面的∣0项带到

，同时把∣1项带入

，因此输出将为：

如果您看一下上面的表达式，您会发现∣1项相互抵消，所以您只剩下了∣0项。收集它们后，我们剩下的∣0状态与开始时一样：

以类似的方式，在通过第一个Hadamard门运行∣1状态之后，我们得到：

然后我们将第二个Hadamard门应用于公式，得到：

这次是∣0项抵消了，而∣1项得到了加强。当我们收集这些项时，我们看到输出只是∣1状态，与开始时一样。因此，∣0和∣1状态在该量子电路中均保持不变，并且电路的净效应与量子线完全相同：

还有另一种查看方式，我将在不详细扩展介绍的情况下勾勒出该方式。需要注意的是，如果我们向电路输入任意量子态∣ψ，则输出必须为HH∣ψ，即，将两个H矩阵应用于∣ψ的结果。但是，如果仅计算矩阵乘积HH，则它是2×2的恒等矩阵，HH = I。因此，电路的输出必须与输入相同，HH∣ψ = I∣ψ = ∣ψ，正如一个量子线。

当然，此结果违反了我们的直觉猜测，即两个Hadamards将彻底混合∣0和∣1。仔细研究我们的直觉出了什么问题，这很有趣，例如，仔细检查H在∣0作用两次的计算。您会看到，在第二个门之后，∣1项彼此完全抵消，而∣0项相互增强。

这似乎是无害的，几乎就像是数学事故。尽管如此，我还是引起您的注意，因为这种取消或增强在许多量子计算机算法中至关重要。在不赘述的情况下，许多此类算法的大致工作方式是，首先使用Hadamard门，去扩展，诸如

（或多量子位的类似物）的量子状态，即多个计算基础状态的叠加。在算法的最后，他们使用巧妙的抵消和强化模式，将事物重新带回一个（或可能是几个，在多量子位的情况下）计算基础状态，其中包含所需的答案。这是一个有点含糊的描述，也许是很诱人的描述，但是要指出的是，我们上面看到的抵消-强化实际上在许多量子计算中至关重要。

现在，我将进行一些与Hadamard门相关的简单练习。与反复“重复”的问题不同，以下练习的重点并不是帮助记忆，因此您不会重复看到这些练习。相反，他们在这里，是因为（您应该选择对他们进行处理）他们将帮助您更好地理解本文的内容。但是，他们只是顺便地有帮助记忆。请注意，即使您没有完成练习，也值得至少通读他们。

练习：

验证HH = I，其中I是2×2的单位矩阵，

练习：

假设通过以下方式定义矩阵J而不是H：

最初，J似乎会沿着类似于H的方式，制造一个有趣的量子门。例如：

和

他们都是良好的归一化量子态。但是，如果我们将J应用于量子状态

，将

会发生什么？为什么这会使J不适合用作量子门？

练习：考虑量子电路：

解释为什么此电路的输出是XH∣ψ，而不是HX∣ψ，因为您可能天真地假设，如果按门在电路中出现的顺序写下这些门。这是要注意的一个常见难题–其发生是因为量子门在电路表示中从左到右组成，而矩阵乘法从右到左组成。