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1. 量子 LC 谐振电路

在经典 LC 振荡电路中，我们通常将 \Phi 理解为是穿过电感的磁通。此处，我们定义节点磁通（node flux）或者旁路磁通（branch flux）如下：

\Phi(t) = \int_{0}^{t} V(t') \, \mathrm{d}t'

电荷量为：

Q(t) = \int_{0}^{t} I(t') \, \mathrm{d}t'

由基本的电磁学知识，我们知道电容电感的本构关系：
电感上的电势差为

V=-L \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}I

电容的电流为

I=C \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V

电容电感的能量分别为

\begin{align}\mathcal{E}_{L} &=\frac{\Phi^{2}}{2L} \\\mathcal{E}_{C} &=\frac{1}{2}CV^{2}\end{align}

由于 V=-\mathrm{d}\Phi /\mathrm{d}t，电容的能量可以表示为：

\mathcal{E}_{C} = \frac{1}{2}C\dot{\Phi}^{2}

因此，体系的 Lagrangian 为

\mathcal{L} = \frac{1}{2}C\dot{\Phi}^{2} - \frac{\Phi^{2}}{2L}

其中 \phi 为广义坐标，广义动量 \partial \mathcal{L} /\partial\dot{\Phi}=C\dot{\Phi}=Q。

因此，体系的 Hamiltonian 为

H = \frac{1}{2}\frac{Q^{2}}{C} + \frac{1}{2}\frac{\Phi^{2}}{L}

然后，对其进行正则量子化，令 [\Phi,Q]=i\hbar。
为了后续计算方便，我们此处将 \Phi 和 Q 无量纲化。
定义约化磁通量和约化电荷数分别为

\begin{align}\phi & \equiv 2\pi \frac{\Phi}{\Phi_{0}} \\n & \equiv \frac{Q}{2e}\end{align}

对易关系为 [\phi,n]=i ^[1]。其中 \Phi_{0} = h / 2e 为磁通量子（h=2\pi \hbar）。n 的物理意义是电路中增加的库伯电子对（Cooper pair）数量，2e 就是库伯对的电量，\phi 的物理意义是通过规范不变性定义的超导电子的相位（gauge-invariant phase）。
记 E_{C}\equiv e^{2} /2C 为电容上每增加一个电子所带来的能量，E_{L}\equiv(\Phi_{0} /2\pi)^{2} /L 为电感上每增加一个磁通量子所带来的能量。则量子 LC 系统的 Hamiltonian 可以改写为

H = 4E_{C}n^{2} + \frac{1}{2}E_{L}\phi^{2}

显然，这是一个典型的谐振子势。
对其进行二次量子化，将正则坐标和正则动量改写为：

\begin{align}\phi &= \left( \frac{2E_{C}}{E_{L}} \right)^{\frac{1}{4}}(a + a^{\dagger}) \\n &= -i\left( \frac{E_{L}}{32E_{C}} \right)^{\frac{1}{4}}(a - a^{\dagger})\end{align}

舍弃掉常数项后，Hamiltonian 最终表示为：

H = \sqrt{ 8E_{L}E_{C} }a^{\dagger}a

解出量子 LC 系统的能级间距为 \sqrt{ 8E_{L}E_{C} }。

但在量子计算中，能级等间距可不是一件好事。我们所需的仅仅是最低的两个能级，等间距的能级会使得我们在对 qubit 进行操控时无法控制其不会跑到更高的能级上。因此，我们期望系统的能级有一定的非谐性。

2. Josephson Junction (JJ)

约瑟夫森节（JJ）是两层超导体中间夹着薄绝缘体结构。
约瑟夫森结两端电势差和通过节的电流分别为 ^[2]（不要混淆 \phi 的物理意义）

\begin{align}V(t)&=\frac{\hbar}{2e} \frac{ \partial \phi }{ \partial t } \\I(t)&= I_{c}\sin\phi(t)\end{align}

其中 I_{c} 为临界电流，\phi 是 JJ 两端超导波函数的相位差。
JJ 的能量为

E = \int_{0}^{t} V(t)I(t) \, \mathrm{d}x = \frac{\hbar}{2e} \int_{0}^{t} I_{c}\sin\phi \frac{ \partial \phi }{ \partial t } \, \mathrm{d}t = -\frac{\hbar}{2e}I_{c}\cos\phi

其中，

E_{J} = \frac{\hbar}{2e}I_{c} = \Phi_{0}I_{c} /2\pi

称为 Josephson 能。
JJ 上的磁通

\Phi(t) = \int_{0}^{t} V(t') \, \mathrm{d}t' = \int_{0}^{t} \frac{\hbar}{2e} \, \mathrm{d}\phi = \frac{\hbar}{2e}\phi

即 JJ 两侧超导体中电子波函数的相位差和磁通的关系为

\phi=2\pi \frac{\Phi(t)}{\Phi_{0}}

3. Transmon Qubit

若将 LC 振荡电路中的电感替换成 JJ，则构成了 Transmon qubit 基本结构。该系统的 Hamiltonian 为^[3]

H = 4E_{C}n^{2}-E_{J}\cos\phi

将余弦项做泰勒展开 \cos\phi ~ 1-\phi^{2} / 2+\dots，略去 Hamiltonian 中的常数项，则 2 阶 Hamiltonian 为：

H = 4E_{C}n^{2}+\frac{1}{2}E_{J}\phi^{2}

我们可以看出，2 阶近似下的 Hamiltonian 与量子 LC 振荡电路的 Hamiltonian 具有同样的形式。在这种情况下，JJ 的作用相当于一个线性电感。按与量子 LC 振荡电路中同样的思路，我们对其进行二次量子化，有

H = \sqrt{ 8E_{J}E_{C} }a^{\dagger}a

系统能级间距为 \sqrt{ 8E_{J}E_{C} }，其中

\phi = \left( \frac{2E_{C}}{E_{J}} \right)^{\frac{1}{4}}(a + a^{\dagger})

继续考虑 4 阶项的影响，此时的 Hamiltonian 为

H = \sqrt{ 8E_{J}E_{C} }M - \frac{1}{24}E_{J}\phi^{4}

其中 M \equiv a^{\dagger}a，有 M|m\rangle=m|m \rangle。
4 阶近似下的能量为

\begin{align}E_{m} &= \langle m |H| m \rangle \\&= \langle m |\left( \sqrt{ 8E_{J}E_{C} }a^{\dagger}a - \frac{1}{12}E_{C}(a+a^{\dagger})^{4} \right) |m\rangle \\&= m\sqrt{ 8E_{J}E_{C} } - \frac{E_{C}}{12}(6m^{2}+6m+3) \end{align}

可以看到系统的能级相比谐振子的能级多了一个修正项。
第 m 个能级与第 m-1 个能级之间的能级差为

\Delta E_{m,m-1} = -mE_{C} + \sqrt{ 8E_{J}E_{C} }

即能级越高，能级之间的能量间隔变得越小，能级越来越密了。

为了描述系统的非谐性，我们定义非谐系数 \eta\equiv(E_{2,1} - E_{1,0}) /\hbar=-E_{C} /\hbar。非谐系数的大小决定着我们操控 qubit 的速度。越快的微波脉冲在频率上的分布就越广，若脉冲在频率上的展宽大于 \eta，在操作 qubit 的过程中便可能使 qubit 激发到更高的能级上。E_{C} 越大操控 qubit 的速度就能越快。但另一方面，E_{C} 越大就意味着 qubit 的状态对电荷涨落越敏感。早期的超导量子比特 E_{C}\gg E_{L}，1 /f 电荷噪声是导致其退相干的主导因素。现在的 Transmon qubit 往往通过在 JJ 上并联一个旁路电容，增大电容以减小 E_{C}，使得 E_{C}\ll E_{L}，从而降低电路对于电荷涨落的敏感性。由于 \phi 的涨落较小，通过这种方式可以很大程度上延长 qubit 的退相干时间（decoherence time）^[4]。

为什么我们在 Hamiltonian 非线性的过程中始终是在对电感项进行修改呢？一个原因是电感项对应的是势能项，就拿一个粒子的 Hamiltonian 来说，一般我们不会考虑对其动能项进行修改，只会选择其势能项；另一个最关键的原因是目前的技术条件下极低温下电容的非线性难以实现。

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参考

1. ^在有些文献中，此处的对易子定义为等于 -i，这会导致后续二次量子化过程中 n 中没有开头的那个负号，需要注意
2. ^黄昆 & 韩汝琦改. (1988). 固体物理学.
3. ^Chen, Z. (n.d.). Metrology of Quantum Control and Measurement in Superconducting Qubits.
4. ^Krantz, P., Kjaergaard, M., Yan, F., Orlando, T. P., Gustavsson, S., & Oliver, W. D. (2019). A Quantum Engineer’s Guide to Superconducting Qubits. Applied Physics Reviews, 6(2), 021318.