本系列的上一篇文章(已是快两年前了)中我们推导了由比能量e(单位质量流体的能量)表示的能量方程，但在热力学上热量的概念可以有多种表达形式，如比内能\hat{u}(单位质量流体的内能)、比焓\hat{h}(单位质量流体的焓)、比总焓\hat{h}_0(单位质量流体的总焓)等。本篇文章将对以上几种形式的能量方程进行推导，以方便不同领域、不同需求的同学查阅。

比内能\hat{u}

根据[1]中已经推导的由e表示的能量方程，由于e与\hat{u}的关系是：

e=\hat{u}+\frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}

可以将原能量方程写为：

\frac{\partial}{\partial t}(\rho\hat{u}+\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})+\nabla \cdot[\rho \mathbf{v} \hat{u} + \frac{1}{2}\rho(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})\mathbf{v}]=-\nabla \cdot \dot{q}_{s}-\nabla \cdot[p \mathbf{v}]+\nabla \cdot[\tau \cdot \mathbf{v}]+\mathbf{f}_{b} \cdot \mathbf{v}+\dot{q}_{b}

将与\hat{u}相关的项提取出来并进行整理：

\frac{\partial}{\partial t}(\rho\hat{u})+
\nabla \cdot[\rho \mathbf{v} \hat{u}] +
\frac{\partial}{\partial t}(\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})+
\nabla \cdot[\frac{1}{2}\rho(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})\mathbf{v}]=-\nabla \cdot \dot{q}_{s}-\nabla \cdot[p \mathbf{v}]+\nabla \cdot[\tau \cdot \mathbf{v}]+\mathbf{f}_{b} \cdot \mathbf{v}+\dot{q}_{b} \quad (a)

下面我们需要借助动量方程来得到(a)式中等号左侧的第三、四项是什么，然后便可得到由\hat{u}表示的能量方程。由[2]中的守恒型动量方程：

\frac{\partial}{\partial t}[\rho \mathbf{v}]+\nabla \cdot(\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v})=\mathbf{f}

两端同时点成一个速度矢量可得：

\left[\frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{v})+\nabla \cdot\{\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}\}\right] \cdot \mathbf{v}=\mathbf{f} \cdot \mathbf{v}

将上式左端展开可得：

\frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{v})-\rho \mathbf{v} \cdot \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\nabla \cdot[\rho(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v}]-\rho \mathbf{v} \cdot[(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}]=\mathbf{f} \cdot \mathbf{v}

将上式第二、第四项合并可得：

\frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{v})+\nabla \cdot[\rho(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v}]-\mathbf{v} \cdot \underbrace{\rho\left[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}\right]}_{=\mathbf{f}}=\mathbf{f} \cdot \mathbf{v}

由[2]中的非守恒型方程可以看出上式第三项事实上可以改写为\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}，又根据[3]中对控制体进行的受力分析，并将上式等号两边同时乘以1/2,可以将上式整体改写为：

\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\right)+\nabla \cdot\left[\rho\left(\frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\right) \mathbf{v}\right]=-\mathbf{v} \cdot \nabla p+\mathbf{v} \cdot[\nabla \cdot \tau]+\mathbf{f}_{b} \cdot \mathbf{v}

再将上式等号右端进行整理可得：

\begin{aligned}
&\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\right)+\nabla \cdot\left[\rho\left(\frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\right) \mathbf{v}\right] \\
&\quad=-\nabla \cdot[p \mathbf{v}]+p \nabla \cdot \mathbf{v}+\nabla \cdot[\tau \cdot \mathbf{v}]-(\tau: \nabla \mathbf{v})+\mathbf{f}_{b} \cdot \mathbf{v}\quad (b)
\end{aligned}

比较(a)式和(b)式，可以从(a)式中提取出与\hat{u}相关的能量方程：

\frac{\partial}{\partial t}(\rho \hat{u})+\nabla \cdot[\rho \mathbf{v} \hat{u}]=-\nabla \cdot \dot{q}_{s}-p \nabla \cdot \mathbf{v}+(\tau: \nabla \mathbf{v})+\dot{q}_{b}

比焓\hat{h}

由于\hat{h}与\hat{u}之间的关系为：

\hat{u}=\hat{h}-\frac{p}{\rho}

因此将其带入由\hat{u}表示的能量方程并进行整理即可直接得到由\hat{h}表示的能量方程：

\frac{\partial}{\partial t}(\rho \hat{h})+\nabla \cdot[\rho \mathbf{v}\hat{h}]=-\nabla \cdot \dot{q}_{s}+\frac{D p}{D t}+(\tau: \nabla \mathbf{v})+\dot{q}_{b}

比总焓\hat{h}_0

该方程可以通过构建能量e与\hat{h}_0之间的关系来得到：

e=\hat{u}+\frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=\hat{h}-\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=\hat{h}_{0}-\frac{p}{\rho}

因此将\hat{h}_{0}-p/\rho带入到[1]中的能量方程中可得由\hat{h}_0表示的能量方程：

\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \hat{h}_{0}\right)+\nabla \cdot\left[\rho \mathbf{v} \hat{h}_{0}\right]=-\nabla \cdot \dot{q}_{s}+\frac{\partial p}{\partial t}+\nabla \cdot[\tau \cdot \mathbf{v}]+\mathbf{f}_{b} \cdot \mathbf{v}+\dot{q}_{b}

经过本系列的10篇文章，终于将N-S方程的各个形式进行了完整的推导，其中这一篇一直拖了两年才更新，望见谅。

未来的一到两篇文章将对N-S方程进行一个总结，作为本系列的一个收尾。

参考资料

[1] N-S方程篇9：能量方程

[2] N-S方程篇6：动量方程

[3] N-S方程篇7：动量方程续-受力分析

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