声明：博主现在是CUHK一名博一学生，方向为 Robot Learning，其实和 quantum 没什么关系。写这一系列文章的动机呢，是我这学期选了这门课 (MAEG5110 Quantum Control and Quantum Information， 纯粹因为兴趣)。前段时间赶paper，错过了几节课，现在打开zoom就和听天书一样，所以趁周末赶紧复习复习（预习预习）。如果有什么不正确的地方，烦请各位大佬评论区批评指正。
参考教材：老师的ppt和 Quantum Computation and Quantum Information

写在前面

理解量子比特

量子比特 (qubit) 是利用量子力学对经典比特的模拟。量子比特是一个双态 (two-state 或 two-level) 的量子力学系统，是显示量子力学特性的最简单量子系统之一 ^[1]。这里有很多延伸的概念：

1. 量子呢，按我们高中物理的理解，大佬普朗克在研究黑体辐射的时候，提出了能量是离散的假设，并将能量的最小单位称为量子。那么，这和量子计算的量子有什么关系呢？量子是数学概念，用来描述光子、质子、中子、电子、介子等基本粒子的能量特性，而非一个实体的粒子。在第二次量子革命，人类开发出控制单个的量子态粒子的技术，可以利用单个量子体系所展现出来的微观量子行为，操纵并控制它们，直接利用量子体系的叠加、纠缠等量子力学行为，来创造出新的技术和工具 ^[2]，即本文所关注的量子计算机。
2. 量子态指量子系统的状态，是由一组表示粒子运动状态的数值所确定的微观状态。
3. 双态系统是指一个可以存在于两个独立（物理上可区分的）量子态的任何量子叠加态 (quantum superposition) 中的量子系统。可以用二维的希尔伯特空间 (Hilbert space) 来描述这样的系统。

量子比特的物理实现

量子比特的物理实现方式不是唯一的，可以由捕获的离子、光子、人造原子或真实的原子，或者准粒子组成。

• 电子的自旋：自旋为上记为0，向下记为1（这就是上文提到的双态系统的例子）；

量子计算机的优势

一个经典的二进制位只能处于0或1两种状态之一。然而，一个量子比特可以表示一个0、一个 1，也可以处于0和1的叠加态，即可能是一个 0 和一个 1 ^[3]。因此，使用量子比特作为信息单元的量子计算机，较相同大小的经典二进制位有更强的表达能力。具体来说，量子计算机的计算过程涉及通过测量量子比特，使其量子态坍缩为0或1。例如，由于2的8次方等于256，故具有8比特的二进制计算机能表示0到255之间的任一个数字。但具有8量子比特的量子计算机可同时表示0到255之间的每个数字 ^[4]。

量子计算机中的量子力学

本文主要介绍以下知识，即量子入门阶段需要掌握的关于量子力学的知识：

1. 如何描述封闭系统的量子态：state vectors and state space；
2. 如何描述量子动力学：unitary evolution；
3. 如何描述量子系统的测量：projective measurements；
4. 如何描述复合系统（多量子系统）的量子态：tensor products。

封闭系统的量子态描述

公设 1

与任何量子系统相关联的是一个称为状态空间的复杂向量空间。封闭量子系统的状态是状态空间中的单位向量。

例如，我们将主要使用具有状态空间的量子位。

量子力学没有规定特定系统的状态空间，比如电子。这是像量子电动力学这样的物理理论的工作。

符号说明

1. 我们将状态空间的向量，即该qubit的量子态写作：，这种表示方法等价于我们熟知的向量 . 类似地，如 这样的表示方法被称作 狄拉克符号 （Dirac notation) ;
2. 我们总是假设物理系统具有有限维状态空间，即在 维状态空间中，其状态向量为 .

量子动力学

量子逻辑门

以下展示了一个量子非门

其变换过程为：

例：

其矩阵表示为

由此，我们引出了对封闭量子系统一般动力学性质的定义，其可以表示为 unitary matrix，即酉矩阵。

酉矩阵

假设，矩阵 ，其埃尔米特伴随 (Hermitian adjoint) 为

酉矩阵的性质：逆矩阵是其共轭转置。

公设 2

封闭量子系统的演化由酉变换来描述

那么为什么是酉矩阵呢？

酉映射是唯一保留归一化的线性映射。

量子系统的测量

当我们谈论一个物体，如人或一本书时，我们假设该物体的物理属性具有独立于观察的存在。也就是说，测量只是为了揭示这种物理特性。例如，网球的物理特性之一是其位置，我们通常使用从球表面散射的光来测量。然而，根据量子力学，未被观测到的粒子不具备独立于观测而存在的物理性质。相反，这种物理特性是由于对系统进行测量而产生的。例如，根据量子力学，量子比特不具有"在 z 方向上自旋 "和"在 x 方向自旋 "的明确性质，每个性质都可以通过执行适当的测量来揭示。相反，量子力学给出了一组规则，这些规则在给定状态向量的情况下，指定了在测量可观测 或测量可观测 时可能测量结果的概率。

我们已知量子系统可表示为

在量子力学中我们无法定义 ，却可以获取关于二者的有限信息，即通过对量子比特的测量 (measurement)，使其坍缩到 或 状态。(测量不可避免地干扰了系统，使其固定在了所观测的结果的状态，也就是我们耳熟能详的薛定谔的猫)

公设 3：粗略形式

令 作为状态空间 的一组正交基，根据该正交基对 进行测量，结果为 的概率为

例如，引入一组正交基 ，测量得到这两个结果的概率是

符号说明

内积被用来描述向量 的双元组 (dual)。如果 是 中的向量，其双元组为 （个人认为，可以简单地当做是向量的共轭转置： 是 的竖向量，而 是 的横向量）

例如，

多量子系统

参照单量子系统，我们可以依次描述多量子系统的状态与测量（以两个量子为例）

公设 4

复合物理系统的状态空间是其子系统状态空间的张量积 (tensor product)。

例如，双量子状态空间为 ；计算基的状态 ，可以写作

张量积的性质如下：

对双量子系统其中一个量子比特进行有变换，那么整体的系统状态是怎么变化？

假设一双量子系统 ，如果对 进行逻辑门 操作，双量子系统的变换为 ，即

例如，我们在双量子系统 的第二个量子比特上应用量子非门，其状态为

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参考

1. ^Qubithttps://en.wikipedia.org/wiki/Qubit
2. ^集微公开课笔记：量子计算，这的确是一个颠覆性的新技术https://zhuanlan.zhihu.com/p/150457029
3. ^什么是量子比特？https://azure.microsoft.com/zh-cn/overview/what-is-a-qubit/#qubit-vs-bit
4. ^“脆弱”的量子比特，如何成为量子计算“主心骨http://finance.people.com.cn/n1/2021/1125/c1004-32291682.html