References:
① Tsay R S. Analysis of financial time series[M]. John wiley & sons, 2005.
② Tsay R S. Multivariate time series analysis: with R and financial applications[M]. John Wiley & Sons, 2013.

虽然这是比较old-school的内容，但似乎还是值得梳理一下。

0 Intro

0.1 平稳性

① 严格平稳：

② 弱平稳： ， ，与 无关（time invariant）

弱平稳的时间序列体现为：数据点围绕着一个均值 (即 )波动，且对于一个固定的时间区间 (即 )，波动幅度 (即 ) 是一致的，这也说明可以对此时间序列进行预测。

可以成为滞后 的自协方差(lag-l autocovariance)：

①

②

一般来说，金融资产的收益率序列，只要观测量足够大，可以被假设为弱平稳的

0.2 Correlation

0.3 Autocorrelation Function (ACF)

第二个等号来自于弱平稳的定义。

：弱平稳序列非自相关（NOT Serially Correlated）

0.4 White Noise

：均值和方差都是有限的（Finite Mean & Variance）

对于白噪声序列，其

0.5 Linear Time Seires

， 是均值， ， 序列均值为0，一般称为在时刻 的新信息(New Information / Innovation / Shock)

并不是所有的金融时间序列都是线性的。

，即 ，即过于老旧的信息对于当前时刻是没有太大作用的。

1 Autogressive Model (AR)

1.1 AR(1)

AR(1): , ，即白噪声序列，此模型等同于一元线性回归

AR(1)具有马尔可夫的性质。

无条件期望和无条件方差：

，由弱平稳 ：

，由弱平稳 有：

AR(1)是 弱平稳 的 充分必要 条件：

自协方差：

由于 ：

1.2 AR(2)

AR(2)可以改写成：

【Moment Equation】

，

Characteristic Roots of AR(2):

① ：AR(2)可以看作两个AR(1)的合并

② ：AR(2)可以得到一个随机波动的周期(Length of Stochastic Cycle):

1.3 AR(p)

1.4 Order Determination

① Partial Autocorrelation Function (PACF): 多元回归的系数，可以看作过多一级的滞后项对当前模型的增益

② 信息准则

对于Gaussian AR(p)： ，

或

1.5 Model Estimate & Check

通过多元线性回归得到：

如果 已经是白噪声序列，那说明模型是合适的。

2 Vector Autogressive Model (VAR)

2.1 VAR(1)：Reduced Form

对于一个二元VAR(1)：

即： ，当 时， 和 有相互的影响。

2.1 VAR(1)：Structural Form & Concurrent Relationship

是对称正定矩阵，那么根据Cholesky分解： ， 是下三角矩阵且对角线元素均为1， 是对角矩阵。令 ：

对于第 个等式：

即对于 ， 对于 有concurrent的影响。

Remark.

Reduced Form更有实践作用：①有利于估计参数②concurrent作用不能用于预测。

2.3 VAR(1)：Stationarity

假设 ：

要使得 平稳：

所以： 的 个 特征值的绝对值 必须小于1

【如果 是 的特征值，那么 是 的特征值】

而 的 个 特征值 是特征方程： 的解

即：

对于 ，其解是

即： 的解需要在 unit circle 之外。

2.4 VAR(1)：Moments Equation

假设VAR(1)是弱平稳的：

所以：

那么：

定义：

那么：

所以：

当 ， ，所以 的 个特征值必须小于1

进一步地：

所以：

即：

进一步地：

最后：

2.4 VAR(p)