接上一节内容，这一节我们来讲约化密度算子（Reduced density operator），这里的约化是一个物理学名词，根据其英文名我们可以知道大概也就是缩减的意思。为了定义何为约化密度算子，我们需要先了解一下偏迹（Partial trace）的概念。

|00 偏迹 （Partial trace）

求迹作为矩阵的常用运算之一，相信各位读者一定已经很熟悉了。这里我们引出偏迹（也可称部分迹）的概念：

令 ，以及矩阵 。则有 。

则偏迹 ， 。

偏迹 ， 。

同样我们通过一个例子来加深理解：

假设我们有矩阵 ，求 以及 。

则 。以及 。

|01 约化密度算子定义 （The defination of reduced density operator）

考虑这样一个量子系统，其由两个子系统 和 构成。其中 有 个量子位， 有 个量子位。我们令该系统的密度算符为 。

则 系统的约化密度算符 ，同理我们可以得到 系统的约化密度算符 。

我们来看一些例子：

例 1 ：

对于任意的量子态 以及 ：

。

请注意这里使用了我们上一节已经讲过的 。

例 2 ：

给定 为子系统 的密度矩阵，以及 为子系统 的密度矩阵。因此整体系统 的密度矩阵 。

例 3 ：

假设有 。

我们将其展开：

则：

值得注意的是，我们的复合系统 是处在纯态的，因为 为 Bell state （虽然是叠加态，但并不是混合态，混合态是由多个量子态组成）。然而我们求得的子系统 却处在混合态，因为 。

|10 量子隐形传态与超光速通讯 （Quantum teleportation and faster-than-light communication）

我们在第二章就有提及，量子隐形传态（Quantum teleportation）依赖于传统信道进行信息传递，可是根据实验设计，如果 Alice 完成了她的测量后，Bob 处的 Qubit 也应该有所变化才对，我们不能利用这样的波函数坍塌来传递信息吗？

答案是否定的，让我们回忆起量子隐形传态的电路：

在 处，Alice 已经完成了她的测量（即她所拥有的 Qubits 的波函数已经坍塌），然而 Bob 并不知道测量结果。

我们再来看 时的状态：

因此，在 Alice 刚完成测量时，我们从 Bob 的视角观察整个系统，发现整个系统处在一个由四个量子态组成的混合态上。即 ：

我们写出此时整体系统的密度算子 ：

计算 （将前两位通过迹运算转成内积形式，结果都为 故消去）：

通过化简（ ），我们得到：

我们可以发现计算所得的 完全独立于 ，其不包含 的任何信息（即 的 ），因此 Alice 无法通过这样的波函数坍塌瞬时地向 Bob 传递任何信息。

练习题：

假设一复合系统由 两子系统组成，且处在量子态 。假设 都为纯态。试证明系统 的约化密度算子处在纯态。

解答：

得证。

本章推荐阅读：

Quantum Computation and Quantum Information Section 2.4.3

该书上部分习题的答案能在此处获得。