量子计算入门Ⅳ：量子纠缠
量子计算入门Ⅳ：量子纠缠
我记得在一次散步中，爱因斯坦突然停下来，看向我，问我是否真的相信月亮只有在我看着它时才存在。然后这次步行的其余时间，我们都在讨论物理学家应该用存在这个词来表达什么意思。(I recall that during one walk Einstein suddenly stopped, turned to me and asked whether I really believed that the moon exists only when I look at it. The rest of this walk was devoted to a discussion of what a physicist should mean by the term 'to exist'.)
—— Abraham Pais
参考教材：老师的ppt和 Quantum Computation and Quantum Information
封面图引用自 Evading the uncertainty principle in quantum physics
- 量子计算入门Ⅳ：量子纠缠
- 什么是量子纠缠
- 物理定义
- 数学定义
- EPR 佯谬
- 施密特分解
- 证明
- 例子
- 施密特秩
- Bell state
- 证明
- 贝尔态的量子电路实现
- 贝尔态的测量
- Evolution
- 应用
- 超密编码
- 量子隐形传态
什么是量子纠缠
物理定义
当几个粒子在彼此相互作用后，由于各个粒子所拥有的特性已综合成为整体性质，无法单独描述各个粒子的性质，只能描述整体系统的性质，则称这现象为量子纠缠（quantum entanglement）[1]1。
量子纠缠是一种纯粹发生于量子系统的现象；在经典力学里，找不到类似的现象。对于两个相互纠缠的粒子分别测量其物理性质，像位置、动量、自旋、偏振等，则会发现量子状态之间的关联性。
例子：亚原子粒子衰变成一对纠缠的其他粒子。假设一个零自旋粒子衰变为两个以相反方向移动分离的粒子。由于这种衰变之前和之后的总自旋必须为零（角动量守恒），因此每当测量第一个粒子在某个轴上旋转时，当在同一轴上测量时，总是发现另一个粒子是向下旋转的。这称为自旋反相关 (spin anti-correlated) 现象。如果测量每个自旋的先验概率相等，则称该对处于单线态 (singlet state)。[1]
数学定义
假设一个复合系统是由两个子系统A、B所组成，这两个子系统A、B的希尔伯特空间分别为 。其复合态表示为 ，如果 ，则 是 中的状态，是 中的状态。
如果 不可分离的，则它是纠缠态，也就是说，如果它不能写成 ，则子系统A、B相互纠缠。
EPR 佯谬
EPR 佯谬，全称爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬 (Einstein-Podolsky-Rosen paradox)，是在论文 Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? 中，以佯谬形式提出的针对量子力学哥本哈根诠释的早期重要批评。EPR论文建立于貌似合理的假设──定域论与实在论，合称为定域实在论。
- 定域论：只允许在某区域发生的事件以不超过光速的传递方式影响其它区域。即，不允许鬼魅般的超距作用。
- 实在论：粒子在被测量之前必须具有确定的位置和动量值。即，即使无人赏月，月亮依旧存在。
施密特分解
首先，假设两个希尔伯特空间 ，其正交基分别为 ，那么任意复合态 可以表示为
而施密特分解 (Schmidt decomposition) 是指，该状态可以被分解为两组正交态 ，其中维度
其中，
证明
设 矩阵 .
对其进行奇异值分解 ，其中 为 的酉矩阵， 为 的酉矩阵， 为 矩阵（对角线为奇异值，其余为0）。
假设 有 个非零奇异值 ，因为 由 进行了正则化，也就意味着
因为
令 ，那么
例子
如果 的维数为 2（量子比特），而 的维数为 n，则 的维数为 。然而， 中的一般状态总是可以写成不超过两个项的总和
因为
施密特秩
施密特分解中的 为施密特秩 (Schmidt rank)，其值等于矩阵 的秩。
当 时，该复合态可分 (separable)， 时，复合态为纠缠态。
Bell state
量子纠缠态的冯·诺依曼熵为零。贝尔态 (Bell state) 是最简单的一种二量子比特系统的量子纠缠态，包含四个特定的最大纠缠量子态，并形成两个量子位的希尔伯特空间的正交基。最大纠缠态是一种量子态，它对每个二分都有最大冯·诺依曼熵 [2]。
证明
对于一个复合态是否是纠缠态，就可以用施密特分解得到的施密特秩来判断。
假设Bell态之一 可以被写作两个单量子态的张量积
二者的张量积为
那么应该有
很明显，要满足上式就没法使 ，即不存在这样的两个单态可以将贝尔态分解为二者的张量积。
贝尔态的量子电路实现
贝尔态的测量
Evolution
对两个贝尔态进行相同的酉变换，不会改变其状态
应用
假设子系统 ，以及对应的观察者 Alice 和 Bob。
B.t.w, 不知道为啥看到的材料都是 Alice 和 Bob 的例子，难道是什么梗？
超密编码
超密编码 (Superdense coding/dense coding) 是一种量子通信协议，通过只发送少量的量子比特来通信许多经典比特的信息 [3]。
见本期外传
量子隐形传输
量子隐形传输 (Quantum Teleportation) 是一种利用量子纠缠来传送量子态至任意距离的技术。
见本期外传
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参考
- ^Quantum entanglementhttps://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_entanglement
- ^Maximally Entangled State and Bell's Inequality in Qubitshttps://arxiv.org/pdf/1711.04415.pdf
- ^Superdense codinghttps://en.wikipedia.org/wiki/Superdense_coding