量子计算机有什么实际的应用意义？
能上 Youtube 的话, 可以看看 Krysta Svore 在 IQC 的一个公开演讲: Quantum Computing: Transforming the Digital Age. 里面涉及了一些 non-trivial 的应用, 比如加速分子动力学模拟.
量子计算机会给化学研究带来突破吗？ - 匿名用户的回答, 这里有些大致介绍.
稍微正式一些, 但是不涉及技术细节的话. 推荐一篇几周前 Ashley Montanaro 写的量子算法综述吧, 在 scirate 上评价很高:
http://arxiv.org/abs/1511.04206. 涉及了不少近年进展, 比如 HHL 算法相关的那些(所谓的量子机器学习), 以及一些经典算法相关的结果(比如我们知道的一些图相关的算法).
比较好且全面的介绍, 大概还有 Stephen Jordan 维护的 Quantum Algorithm Zoo:
http://math.nist.gov/quantum/zoo/. 罗列了目前的绝大多数量子算法, reference 里有两百多篇 paper. 当然了, 大多数问题的加速都是多项式级的.
总结一下. 现在的量子算法其实都是基于几个算法原语(量子 Fourier 变换, Grover 算法, Quantum Random Walk, 量子模拟, HHL), 然后用在各种情境中: 比如用 HHL 算法来处理 ODE 边值问题或者统计学习里面的问题. 会不会有更多的原语呢? 我不知道. 但即使是现在这些原语, 在实际应用中的潜力恐怕也远没有开发殆尽. 更多的 killer application, 很可能需要的是有具体专业背景的人使用量子算法来解决问题.
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