（标题图片来源：IBM）

最近在学习超导量子计算过程中，发现所查资料都不全面，基本是先给出Josephson relation并直接正则量子化，让刚开始接触的人一头雾水。本系列将从Josephson effect开始，从底层物理现象开始，逐层分析。前沿物理现象往往推导途径不一且千差万别，本文仅从笔者所了解的方向说明，欢迎补充交流讨论。鉴于个人水平有限，如有错误，请指正。

超导量子比特的核心元件为约瑟夫森结（Josephson Junction），是一种较容易操控的非线性电感元件。其所基于的Josephson effect，为本文推导的目标。

超导量子计算的内容往往从Josephson relation开始，而本篇为Josephson relation的推导，故作为系列第零篇。

一、超导的宏观量子模型

宏观量子模型将整个超导体用一个宏观波函数 描述，其演化规律与薛定谔方程形式相似，由Fritz London引入。模型主要建立在两条规律之上：

1. 有大量Cooper pair同时处于基态时，将系统用宏观波函数 描述，宏观波函数归一化为 ， 为Cooper pair总数，并有

其中 为Cooper pair密度（即单位体积内Cooper pair的数量）。一般与Cooper pair有关的量用星号表示，注意与共轭区别。因此可设

其中 为相位分布。

演化满足

其中 为Cooper pair质量， 为Cooper pair带电量， 为电势分布， 为矢势分布， 为非电磁势能分布。

注意到 为带电粒子的机械动量，上式和薛定谔方程形式完全相同。

2. 电流密度由下式给出

此Ginzburg–Landau方程中的第二个式子。

参考概率流密度矢量，可以很容易理解上式：电流密度由载流子带电量 乘概率流密度 给出，即

其中 再次代入广义动量的表达式即可得出上面那个冗长的式子，式中 代表取实部。

我们将从这两条性质开始，导出常见的喜闻乐见的Josephson relation。

二、超导体的一些性质

• 超导体内的电流密度

首先将（2）式 代入（4）式，得出超导体内部电流密度表达式（即图中区域1、2）：

观察上式，注意到在没有外加电磁场的情况下，第一项依然存在，因此元件两端不加电压时，也会有超流通过元件。

• London方程组

这部分内容与下一部分并不是必须的，但却十分有意思，并且是超导体的重要特性，故在此简略说明。

下面我们对超导体内部的最终稳态进行探讨，假设 不随时间变化。

对（5）式关于时间求导，得

对（3）式分离变量，显然 ，其中 为载流子的能量，包括动能与势能。考虑电流密度定义 ，此处载流子动能为

，

势能为

，

将 代入得

将（7）式代入（6）中，化简得 ，

代入 得

上式即为London方程组中第一个方程的完整版。

但是通常电场力 远大于 ，因此对 的计算中，往往忽略磁场引起的效应（也即忽略Hall效应），于是得通常所见London方程组的第一个式子：

对（5）式求旋度，得

由Maxwell方程组得 （注意导体内部 恒成立，所以只有一项），代入（10），得

Meissner Effect (wikipedia)

上式即London方程组第二式。记London穿透深度（penetration depth） ，London方程组通常写作：

第二个方程能够解释Meissner效应，以一维情况为例，考虑方程：

边界条件：导体外y方向均匀磁场 ，取导体边界为坐标原点，正方向向内。

解得 ，呈指数衰减，故在超导体内部不存在磁场，而任何导体内部都不存在电场。再结合此前所得超流表达式，可知超流、磁场、电场都只存在于超导体表面。

• 磁通量的量子化

超导体内部的磁通量是量子化的，这也是一个十分让人惊讶的性质。沿导体内任意一闭合回路对（5）式积分，得

其中 为围道所围区域， 为其边界，+-代表顺逆时针。由于超导体内部无电流，上式等于0。通常情况下对单值函数的梯度场围道积分，结果一定是0，但是这里的 关于坐标 并不是单值函数，沿回路走完一圈回到同一点时可能会多一个 ，故对其围道积分的值为 ，其中k为所绕圈数，这是复变函数中常见的围道积分现象。（具体会不会多，以及k的具体取值，与 分布有关，而与空间中所走的路径性质并无直接关联）

因此可以推得

其中 为磁通量量子（Flux quantum），其由基本常数确定，因此对任意超导电路具有相同数值。

三、约瑟夫森结（Josephson Junction）

Josephson Junction

如图，约瑟夫森结由两端超导体相隔一层绝缘体组成，绝缘体厚度大约在1nm量级。记两边超导体分别为区域1、2，由波函数 描述，绝缘体区域由 描述。图示平面x方向为电流方向，由1指向2，y方向垂直纸面向内。

上一部分中我们已经得到了超导体内部在稳定状态下的物理性质，下面我们对绝缘体内部的情况进行推导。

假设此约瑟夫森结具有圆柱对称，于是简化为一维模型，只需考虑x坐标。绝缘体由高为 的一维方势井描述。并假设约瑟夫森结通过恒定电流

演化满足方程（3），并有边界条件

• 无外加电磁场的约瑟夫森结

直接求解（3）式会较为复杂，因为 和 的具体分布并不确定。但因为 与 应当满足规范不变，因此我们不妨先假设空间中不存在外加电磁场，再通过gauge transformation求解电磁场对系统的影响。

对（3）分离变量 后得

其中由（7）得 。

在势垒范围内有

设方程通解形式为

其中 。在 的情况下，将没有经典电流通过约瑟夫森结，只有超流。

将边界条件（15）代入（18），解得

至此，式（18）、（19）给出了绝缘体内部的宏观波函数。利用公式（4）经过一些简单的运算，可以求出绝缘体内的超流大小：

其中 为临界电流密度。

• 外加电磁场----规范不变相位

考虑规范变换 ，由于 应为规范不变量，根据（5）式 应满足相应规范变换 。

于是发现（20）需要被修改来满足规范不变。设应当符合的关系为 ，其中 满足规范不变。设其修改后形式为 ，则

注意到后面新加的一项正是 变换部分积分得到的，故修正项 的表达式应为

因此规范不变相位的表达式应为

修正后的（20）式应为

• 约瑟夫森关系（Josephson relation）

对上式关于时间求导，得

代入式（7），得

其中 为约瑟夫森结两端电压差。这便是约瑟夫森结中的phase-voltage关系。

由（24）可以显然得到phase-current关系 ，整理得

四、结论

至此关于超导量子比特的铺垫已经结束，大部分关于超导量子比特的介绍都是从（27）式直接开始。但是那样后面直接取磁通量和粒子数正则量子化总让人不明不白，因此在此整理一份从物理基础开始的介绍。

对本篇食用有困难的童鞋大可暂时跳过此篇，直接阅读系列第一篇。