声明：博主现在是CUHK一名博一学生，方向为 Robot Learning，其实和 quantum 没什么关系。写这一系列文章的动机呢，是我这学期选了这门课 (MAEG5110 Quantum Control and Quantum Information， 纯粹因为兴趣)。前段时间赶paper，错过了几节课，现在打开zoom就和听天书一样，所以趁周末赶紧复习复习（预习预习）。如果有什么不正确的地方，烦请各位大佬评论区批评指正。
参考教材：老师的ppt和 Quantum Computation and Quantum Information

• 量子计算入门Ⅱ：测量公设的改进
• 内容回顾
• 改进的测量公设
• 公设 3：改进形式
• 例子 1：qutrit 的观测
• 例子 2：测量两个量子比特中的第一个
• 例子 3：测量三个量子比特中的前两个
• 符号解释
• 投影定义
• 谱定理
• 例子

内容回顾

上一篇文章介绍了封闭量子系统状态表示方法、演变（逻辑门）、测量以及多量子系统的复合表示方法

我们先总结一下

公设 1：封闭量子系统由称为状态空间的复杂内积空间中的单位向量描述。

公设 2：闭合量子系统的演变由酉变换来描述 .

公设 3 粗略形式：如果以一组正交基 来测量量子比特 ，结果为 的概率为 .

测量会是干扰系统，使其坍缩到观测结果。

公设 4：复合物理系统的状态空间是其成员系统状态空间的张量积。

上一篇的公设3还只是粗略模式，本文首先对其进行改进。

公设 3是关于量子态的观测，说到这我就想起来。。。当然不是薛定谔的猫，而是大刘《球形闪电》中的林云，那个死于宏原子核聚变，处于量子态的女军官。Btw，大刘写人性一绝，为什么就写不了感情戏呢？按理说是一回事吧。

改进的测量公设

改进的公设用一组完备的正交子空间 来代替正交基 ，那么系统的状态空间可以表示为

例如

在数学上，用对应的 projectors 子空间 ,来描述它们是很方便的

例如， 在子空间 上的投影为

公设 3：改进形式

令 为状态空间在一组完备的正交子空间上的投影 (projectors)，。这一组投影定义了测量。对 进行测量，得到结果为 的概率为

测量不可避免了干扰了系统，使其坍缩到了后测量状态 (post-measurement state)

例子 1：qutrit 的观测

上一篇我们介绍的 qubit 是双态系统，今天介绍一个具有三个叠加态的量子信息单元 (qutrit)

• 投影到
• 投影到

各状态的概率为

对应的 post-measurement state 为

例子 2：测量两个量子比特中的第一个

假设我们要在基 中对两个量子比特中的第一个进行测量。规则是首先在该量子比特的状态空间上形成相应的投影 ，然后用第二个量子位上的恒等式张量它们，得到 和 。

如果两个量子比特的状态是 ，那么测量结果为 0 的概率为

例子 3：测量三个量子比特中的前两个

假设三个量子比特的状态为 。其中， 为前两个量子比特状态空间的正交基， 是第三个量子比特的标准化状态 normalized states。那么，在基 上测量前两个量子比特其结果为 1 的概率为

符号解释

外积：假设两个向量 ，二者的外积为 。我们把这个狄拉克符号中的箭头当做向量的横竖就好了，以矩阵形式写出来即为：

内积外积的组合缩写：

例如，

投影定义

外积的作用：描述投影以及测量。我们在上文将子空间 上的投影 简单定义为

具体来说

更普遍的，在由正交向量 构成的子空间上的投影被定义为

由于 ，我们可以得到在由正交向量 构成的状态空间上投影具有 .

谱定理

定理：假设 为埃尔米特矩阵，即 。那么 可对角化

其中， 为酉矩阵， 为 的特征向量。

根据外积的定义，斜对角矩阵 .

因此，，其中 是 对应的特征向量，即 .

最后就可以得到，，其中 就是在 的特征向量 对应的特征空间上的投影。

例子

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