自回归

Autoregression is a time series model that uses observations from previous time steps as input to a regression equation to predict the value at the next time step

自回归预测法（Autoregression,AR）是指，利用预测目标的历史时间数列在不同时期取值之间存在的依存关系(即自身相关)，建立起回归方程进行预测。

具体说，就是用一个变量的时间数列作为因变量数列，用同一变量向过去推移若干期的时间数列作自变量数列，分析一个因变量数列和另一个或多个自变量数列之间的相关关系，建立回归方程进行预测。

再通俗一点讲，就是用过去时间点的数据预测未来时间点的数据。

定义：时序数据Xt通常可由历史数据的加权和与随机扰动的叠加来表示

从定义的式子可得，时间t的Xt由前面的Xt-1....Xt-p的加权以及随机扰动项（白噪音）决定，这里为p 阶自回归模型，简称 AR(p) 模型，称 a=(a0,a1,...,ap)T 是 AR(p) 模型中的自回归系数。

补充：白噪声序列的特点 表现在任何两个时点的随机变量都不相关，序列中没有任何可以利用的动态规律（也就是，别白忙活了，分析不出规律来的），因此不能用历史数据对未来进行预测和推断。

一般平稳序列的建模过程如下：

• 步骤 1 ：对序列作白噪声检验，若经检验判定序列为白噪声，建模结束（没条件，不需要努力了）；否则转2 ；
  
• 步骤 2 ：对序列作平稳性检验，若经检验判定为非平稳，则进行序列的平稳化处理，转步骤 1；否则转步骤 3；
  
• 步骤 3 ：对模型进行识别，估计其参数，转步骤 4；
  
• 步骤 4 ：检验模型的适用性，若检验通过，则得到拟合模型并可对序列做预测；否则转步骤 3；
  

1. AR模型的判定

对于观测到的时间序列，若通过白噪声检验确定为非白噪声，且经平稳性检验确定为平稳后，常根据相关系数和偏相关系数来识别模型。

目的：判断该问题是否适用 AR 模型建模，以及大致确定阶数 p。

方法：计算自相关系数（Autocorrelation Function, SAF）和偏自相关系数（Partial Autocorrelation Function, PACF）

如果一个时间序列满足以下两个条件:

• ACF 具有拖尾性，即 ACF(k) 不会在 k 大于某个常数之后就恒等于 0。
• PACF 具有截尾性，即 PACF(k) 在 k>p 时变为 0。（用来确定阶数， PACF 在 p 阶延迟后未必严格为 0 ，而是在 0 附近的小范围内波动）

示例：

可以看出： 自相关系数呈现一定的周期性，故判定为拖尾； 偏自相关系数 2 步后截尾。因此，可尝试使用 AR(2) 模型来建模；

2、AR 模型的定阶

在对 AR 模型识别时，根据其样本偏自相关系数pacf的截尾步数，可初步得到 AR 模型的阶数 p。

但此时建立的 AR(p) 未必是最优的。一个好的模型通常要求残差序列方差较小，同时模型相对简单，即要求阶数较低。

因此需要一些准则来比较不同阶数的模型之间的优劣，从而确定最合适的阶数。

下面给出两种常用的定阶准则：

3、AR模型检验

检验模型拟合度，从2个方面考虑：

1. 有效性检验 即为残差序列的白噪声检验
   
2. 显著性检验 即删除那些不显著参数，简化模型，这里采用T检验对于回归的系数进行检验
   

4、AR模型简单实现

这里的api调用的是最大似然估计（OLS）去估计参数的

参考链接：

1、https://wiki.mbalib.com/wiki/%E8%87%AA%E5%9B%9E%E5%BD%92%E9%A2%84%E6%B5%8B%E6%B3%95

2、https://zhuanlan.zhihu.com/p/54163589

3、https://www.statsmodels.org/stable/