介绍完计算的基本单位qubit后，我们可以进行量子计算了。

在经典计算机中，我们使用电路，来实现计算，接触过电路的同学应该知道，电路中存在逻辑门的东西，量子计算中，我们也有量子电路和量子门来控制量子信息，从而实现量子计算，接下来，就将进行量子计算的介绍。

单qubit门（single qubit gate）

电子电路中，我们有非门，可以实现bit从0到1，或者从1到0，那我们可以设计类似的量子上的非门，作用于qubit上，类似的实现 ，实际上，我们使用的量子非门是线性的，在qubit中，实现：

我们可以定义一个矩阵 来表达量子非门：

因为历史原因，我们以后用 来表达量子非门。我们把qubit用向量表示：

通过非门的运算后，我们有以下的结果：

显然，经过变化后的qubit仍然满足 的限制，所以， 满足酉矩阵的性质，令人惊奇的是，任意一个酉矩阵，都可以代表一个合法的量子逻辑门！

（关于酉矩阵这里，相关英文为unitary，unitarity，计算机本科的笔者也是刚刚才知道，具体性质参考链接）

后面再给出两个量子计算中重要的门：

Z gate：

Hadamard gate：

Hadamard门有时描述为非的平方根的门（square-root of NOT），因为通过门的结果有点特殊，但实际上注意，

复qubit门

上面描述的逻辑门，输入都是一qubit，此外，我们还有类似bit中与，或之类的二元逻辑运算，不过，在量子逻辑门中，最经典的逻辑门是控制非门（controlled_NOT gate or CNOT gate)，以后我简称为CNOT门，这个门输入为两个qubit，CNOT门的图表示为下：

它对应的矩阵操作符为：

对应的操作等价于：

输出和经典计算机的异或相当，即模2下的和：

我们同时也可以发现， 是一个酉矩阵。

虽然我一开始提到，这个结果类似于经典计算机中的异或门，但不能像普通计算机那样去理解，因为，我们量子的异或门，是不可逆的（不要和后面的可逆弄混）！这里的不可逆指：经典计算机中，我们或许可以通过输出的结果，推算输入的结果，而在异或门中，这是不可能的。但是，酉矩阵量子逻辑门却都是可逆的，因为酉矩阵的逆也是酉矩阵，因此，我们可以通过逻辑门实现回去的转换。

在离散数学中，我们知道，有与，或，非，就可以组成所有的逻辑运算（少了与，或其中一个也可以），量子计算这里也是，CNOT门和所有的单qubit门能够成所有的逻辑运算，原书4.5节将给予证明。

基的变换

在线性代数中，或者在几何空间中，我们知道，对于一个向量，可以表示成基的线性组合的形式，对于不同的基，我们有不同的线性组合，量子计算中也是，除了 ，我们可以选择其他的qubit的态作为基。

我们设 ，对于任意一个qubit ，我们可以用 来表示：

易得出， .

所以，我们可以构造无数多的基来描述qubit的状态，但，qubit的基必须满足正交的条件，这样才能保证 .

量子电路

上图是一个示例的量子电路，由三个CNOT门组成，对于如何用物理实现，我们暂时不管，只是把它看成一个模型就好。

上图有两个输入变量 ，我们用 来表示：

这里有几点和电子电路的区别需要说明，第一，电子电路中允许有环，但量子电路是无环的，第二，量子电路不允许扇入，第三，逆操作，扇出，也不允许。

下面，我们将讲两个逻辑电路，为后面做铺垫。

第一个是，控制U门（controlled-U gate）

该门有一个控制位和若干个输入与输出，该门不代表一个特定的门，而是代表一类，当控制位为0时，输出和输入一样的东西，控制位为1时，执行U操作，典型的一个控制U门市CNOT门，此时输入输出为一个，U=X。

另一个是测量，用meter符号表示：

就像我们前面所说的，qubit有 ，有 概率输出0， 的概率输出1。

在继续讲解前，我们先思考一个问题，qubit的复制，我们之前说过，量子的状态是不能复制的，但是，我们有了CNOT门后，是不是可以设计如下线路：

这不就复制了一个qubit了吗？

事实上并不是，上图的0，是经典bit，我们考虑一个qubit ，下面的0换成qubit ，作用到CNOT门上，我们可以有：

那么，我们复制qubit了吗？或者得到 ，并没有，我们做一下 运算：

显然，不等。

接下来，我们讲解两个例子，巩固印象。

例子1：Bell states

上图是一个Hadamard门，上图的输出，是一个Bell states，或者叫做EPR pairs，书中给出了具体的公式：

其中 是对y取反的意思。

例子2：量子通信

通信里经常用到的两个人，Alice和Bob，Alice要发送一个信息给Bob，而这回，这个信息，是一个qubit，而Alice并不知道qubit的状态，我们不能选择用经典的bit去描述，因为qubit是连续的，并不是离散的，我们使用下面的线路：

不得不说，有点复杂，笔者也花了些时间去理解。

初始，我们有 ，所以我们有：

经过CNOT门，我们有

回顾一下，后面的Hadamard门：

我们经过运算后，得到：

重写整合下：

所以说，我们能够得到以上四个情况（对应四个项），根据前两个qubit，可以得出第三个qubit的状态，如果是 ，则输出的是原先的qubit的状态，无需改动，否则，如果是 ，需要作用一个X，如果是 ，则是Z，如果是 ，则是两个门都作用一下，最后修正后都会输出要传输的qubit的状态。

但是，有两点要解释说明下，第一点，在相对论中，物质的传输是超不过光速的，也就暗示能量和信息多传递无法超过光速，但是这里却超过了？其实并没有，因为Alice必须通过传统的信道讲前两位的状态发送出去，事实上，后面会讲到，只有量子信道的情况下，传递不了任何信息。第二点，这个是算创造了一个量子状态的副本吗？其实并没有，因为之前的初始的qubit消失了，所以和不可复制定理不矛盾。