量子力学是什么？

量子力学是用数学方法描述量子物理规律的一门工具类学科。

量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。

量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。

· 德布罗意关系式

在微观粒子世界，没有绝对静止的概念，任何粒子都是以一定的概率在波动。只是波动的幅度和频度有大有小，绝大多数情况下这种波动是肉眼无法观察到。

巨量的微观粒子构成我们能够看到的物体，这些巨量的粒子的波动相互作用，互相牵制，组合在一起形成了一种统一的波动，形成集体行为，体现出来物体的各种性质，如：导热、导电等。

具有确定动量和确定能量的自由粒子，相当于频率为 n 波长为 l 的平面波，二者之间的关系如同光子与光波一样，即:

这就是著名的德布罗意关系式，这种表示自由粒子的平面波称为德布罗意波或“物质波”。

自由粒子的波函数(德布罗意假设)

其中公式中的点乘和叉乘，

为什么我们感觉不到这种微观粒子波？

可见单个粒子波动的波长是非常非常小的，完全不在人类能够直接观察的范围。

· 粒子或系统的哈密顿量（Hamilton）

动能+势能，就是这个粒子的总能量，哈密顿量表示了粒子的能量。

首先看第一项，分母 m 表示粒子的质量，倒三角的平方表示两个梯度算符点乘，作用于函数的效果，就是对三个自变量 xyz 分别求二阶导数，然后再相加起来，得到的还是一个标量函数。

第一项实际上代表了粒子的动能；第二项是一个空间位置的函数，即势能函数，表示粒子处在不同位置时的势能大小。简单推导如下：

为什么是选择用哈密顿量H来描述系统？下面解释帮助理解。

因为，对于一个封闭系统来说，无论是微观还是宏观都是能量守恒的，在各种状态的迁移过程中终于可以找到一个等量关系，就像在茫茫大海中抓到一根救命稻草。

阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同。如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假。 阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假。

量子力学的五大公设

· 量子态公设：波函数

波函数公设，一个微观粒子的状态可以由波函数完全来描述，波函数的模方为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。

波函数三个标准条件：有限性、单值性和连续性。

态叠加原理：

若 \Psi_{1}，\Psi_{2} ,..., \Psi_{n} ,... 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 \Psi= C_{1}\Psi_{1} +C_{2}\Psi_{2} + ...+ C_{n}\Psi_{n}+ ... (其中 C_{1} , C_{2} , ... ,C_{n} ,... 为复常数) 也是体系的一个可能状态。

处于 \Psi 态的体系，部分的处于 \Psi_{1} 态，部分的处于 \Psi_{2} 态…,部分的处于 \Psi_{n} ,...

· 量子运动方程公设：薛定谔方程

1）薛定谔方程

薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设。

地位等同于牛顿力学中的牛顿方程 F = ma。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。

2）定态薛定谔方程

定态含义作用在粒子上的势场是不随时间改变的薛定谔方程。

定态的性质：

• 在定态中，几率密度和几率流密度不随时间改变；
• 任何不显含时间t的力学量平均值与时间t 无关；
• 任何不显含时间t的力学量的测量概率分布也不随时间改变。

· 算符公设：厄米Hermite算符

任意可观测的力学量，都可以用相应的线性厄米算符来表示。

厄米算符的矩阵计算：转置，再取复共轭

厄米算子是一类特殊的重要算子，因为厄米算子的特征值是可观测量的可能值，这意味着测量值为实数而不是复数。在量子力学中，与伴随项相等的算子称为厄米共轭算子或自伴随算子。

换句话说，算子A是厄米算子的当且仅当满足以下等式：

作为一个例子，推导下面表示线性算子的矩阵的伴随项，确定其是否是厄米矩阵：

首先，确定矩阵的共轭复数 A^{*}

然后，对 A^{*} 进行转置得到：

所以， A^{} =A，所以该矩阵是厄米矩阵。

· 量子测量公设：平均值公设

· 全同性原理公设

如果两个粒子内禀属性全部相同(质量，电荷，自旋，同位旋，内部结构以及其他)，认为它们是全同的。

在这种情况下，比如两个电子，我们在实验中如不做人为的标记，是无法区分它们的。

所以全同性原理便是全同粒子的不可分辨性。

而这跟微观粒子的交换对称性扯上了关系，两个全同粒子组成的系统，其概率幅应当是对称的，也就是说总的波函数要么是对称的，要么是反对称的。

这种情况下，总波函数对称的我们叫它玻色子，反对称的我们叫它费米子（Pauli不相容原理）。

典型的量子态波函数

求解定态量子问题的步骤：

（1）列出定态Schrdinger方程

（2）求解Schrdinger方程，写出通解

（3）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：

（4）通过归一化确定归一化系数 C_{n}

· 一维线性自由粒子

对应于一个能量本征值，有两个本征态(p=0)除外，因此其能级是二重简并的（所谓简并，也就是两个状态能量级别是相等的）。

· 一维无限深势阱

在许多情况中，如金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质子和中子等，粒子的运动有一个共同点，即粒子的运动都被限制在有限的空间范围内，或者说， 粒子处于束缚态。

为了分析束缚态粒子的共同特点，我们可以将上述情况简单化、 理想化，建立无限深势阱模型。

粒子的势能为:

这是实际情况的极端化和简化。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。

1）一维无限深势阱波函数

被束缚在阱中的粒子的能量只能取一系列离散的数值，即能量是量子化的。

2）一维无限深势阱波函数分析

1.每个可能的值叫能量本征值

2.束缚态 粒子能量取值分立 (能级概念)，能量量子化

3.基态：

最低能量不为零--波粒二象性的必然结果，因为静止的波是不存在的。

4.能级间距：

当n 很大时,能量趋于连续, 量子效应不明显。

5.通常表达式写为

6.本征能量和本征函数的可能取值

n\rightarrow\infty 时，量子 \rightarrow 经典，平均效应明显，符合玻尔对应原理。

· 一维线性谐振子

线性谐振子是物理学中一个重要的模型，许多在平衡点附近振动的物理问题都可简化为线性谐振运动。一般说来，任何一个体系在稳定平衡点附近都可以近似地用线性谐振子来表示。

自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。

一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。

1）一维线性谐振子波函数

谐振子能量也只能取一系列离散的数值，即能量是量子化的。

值得注意的是，基态能量 E_{0}=（1/2）ω ≠0 ，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二象性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。

2）一维线性谐振子波函数分析

厄密多项式的递推关系： 已知 H_{0}= 1, H_{1}=2\xi，H_{2}=2\xi H_{1}-2nH_{0}=4\xi^{2}-2

基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数y(x)的递推关系：

下面给出前几个厄密多项式具体表达式：

然而，量子情况与此不同 。对于基态，其几率密度是：

分析上式可知：一方面表明在ξ= 0处找到粒子的几率最大； 另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零，与经典情况完全不同。

分析波函数可知量子力学的谐振子波函数 \Psi_{n} 有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。

· 平面转子和空间刚性转子

旋转与角动量在量子力学中具有独特的地位，平面转子和空间刚性转子用于分析原子电子的角动量和自旋。

1）平面转子的能量本征值与本征态

平面转子的哈密顿算符为：

平面转子的哈密顿算符本征值：

相应的本征函数：

对应于一个能量本征值，有两个本征态(m=0)除外，因此其能级是二重简并的。对应s/p/d/f等亚轨道电子的排布。

2）空间刚性转子的能量本征值与本征函数

空间转子的哈密顿算符为：

空间刚性转子能量本征值：

相应的波函数为：

能级是(2L+1)度简并的。对应原子的外围电子分布。

编辑：Victorlamp-e休