前言

这些文章是我在学习games101的过程中的一些心得和笔记，有些是课程的内容，有一些则是我在其他博客等处总结的相关知识点和扩展资料。
请注意：这篇文章对应的课程内容是Lecture 13-18 ，课程链接见下

对应的作业是HW 5-7，下面是我做的作业详解，仅供参考。

阴影映射（shadow mapping）

点光源的阴影 -> 只能生成硬阴影

1. 在光源处放一个摄像机，从光源看场景，画一张深度图（shadow map）
2. 在眼睛处放第二个摄像机，从眼睛看场景，判断看到的点的深度与记录的深度是否一致

注1：这里所有物体包括摄像机都在世界空间内，光源和眼睛的“看”意味着做投影，类似于v矩阵。例子：对于eye“看”到的一个(,)点，这个点实际上是在eye的投影平面上，对这个点做eye投影的逆变换，就可以得到原本世界坐标上的点(x,y,z)，再对它做光源投影，就能得到光源投影平面上的对应的点坐标(,)，从而获得存储在这个点上的深度值。
注2：阴影图的一些问题：1、生成的shadow map分辨率太低的话就会造成阴影的锯齿（因此游戏中阴影选项多有低中高三档调节，就是调节shadow map的分辨率大小）。 2、判断深度一致时，浮点数难以完全相等，因此加入一个阈值，两个浮点数的差值小于阈值就判为相等，或者使用相对大小来代替一致性判断。

为什么需要光线追踪？

• 为了解决光栅化近似的效果精度不高的问题
• 为了解决shadow mapping中的问题

光线追踪与光栅化的对比

Whitted-Style

原理

从眼睛发射一条光线穿过显示屏投射到物体上，得到交点shader point，既发生折射又发生反射，从折/反射点发射一条指向光源的shadow ray，判断它是否被物体遮挡，没有遮挡就对这个shader point着色（比如使用phong模型着色，当然，得利用物体的法线），最后把这些着色点的着色结果加权到得到一个颜色，把颜色设置进显示屏对应的像素上。

技术细节

光线定义 -> 一个向量，有起点，有方向

求光线和物体表面的交点

a）显式表面 -> 场景中多是这种难以用方程描述的显式表面

从光源直接投射一个光线，求它与三角形所在平面的交点，再用叉乘判断交点是否在三角形内

或者一步到位，使用Mller Trumbore Algorithm：将交点用重心坐标表示，得到一个有三个变量 t ， b_1 , b_2 的3阶线性方程组，解方程。

b）隐式表面 -> 令曲面上的点P等于光线上的点r即可求解。

c）加速求交 -> 三角形太多，不可能一个一个去求交

1）AABB包围盒

将物体用包围盒包围，如果光线没与包围盒相交，就不可能与物体相交。将包围盒作为三个“对面”的交集，如下

如何判定是否相交：将光线延长为直线，分别求出与三个“对面”的交点 t_{min} 和 t_{max} ， 并且t_{enter} = max\left\{ t_{min} \right\} ， t_{exit} = ma\left\{ t_{max} \right\} ，当 t_{enter} < t_{exit} && t_{exit} > 0 时，光线与包围盒相交

2）场景预处理 -> 画格子

首先，场景栅格化，把物体表面涉及的格子标记，之后发射光线，沿着光线取格子，取到有标记的格子就判断是否与物体相交，否则继续取格子。

注1：这里默认一个事实 -> 判断光线与格子相交比判断与物体相交简单
注2：如何沿着一条线得到沿线的格子 -> 参考 烧烤摊摊主老蔡：Bresenham 直线算法

3）空间划分（预处理）-> 为了解决“Teapot in the stadium”问题

• 八叉树：平均的去分，一次分成8份 （每个子空间都要继续分）
• KD树：x,y,z交替的去分，一次分成2份（实际上就是二叉树）
• BSP树：非轴向的分

分完以后记录一个盒子里包含哪些物体。

查找过程：类似于二分查找。以KD树为例，投射一条光线，当光线碰到父节点的盒子时，需要递归的判断是否碰到子节点的盒子，直到判断进行到叶子节点时（叶子节点就是分的最小的盒子），意味着需要对叶子节点的这个盒子中包含的物体判断是否相交。

4）物体划分（预处理）-> 为了解决KD树一个物体存储在多个盒子里、难以判断物体是否被包围盒完整包围的问题

查找的过程与KD树类似，递归就行

辐射度量学

符号定义

• Q -> Radiant Energy，单位Joule
• Φ = \frac{dQ}{dt } -> Radiant Flux\power,单位Watt\Lumen，1w = 683 lm
• I(w) = \frac{dΦ}{dw} -> Radiant Intensity，单位candelas
• w -> Soild Angle，单位steradians （参考星空下：什么是立体角）
• E(p)=\frac{dΦ}{dA } -> Irradiance，单位lux，单位面积通量
• L(p,w)=\frac{d^2Φ}{dwdA cosθ } -> Radiance，单位nit，单位面积上单位立体角通量

重点理解下面这个图就可以了，首先，irradiance是单位面积dA接收的总辐射能量，记作E，这个E是多个方向的能量叠加的，dE单指一个方向来的打到dA上的能量，即w方向来的能量。

Bidirectional Reflectance Distribution Function(BRDF)

BRDF做了什么？ -> 假设已知入射光和受光点，BRDF函数可以求出反射光分布，反之亦然，所以叫双向分布函数

为什么需要BRDF？ -> 已知入射光能量和角度，射到物体表面物体先吸收能量，然后再向各个方向辐射（即反射），BRDF能求出给定方向的辐射的能量是多少，比如辐射到摄像机那里会有多少能量

BRDF怎么做的？

反射方程

dL(w_r)指沿着 w_r 方向上传播的一部分能量，dE(w_i )指w_i方向来的打到dA上的能量。那么一个w_i 方向的光对这个反射方向w_r的贡献比例是f_r，对所有光方向积分，就能得到沿着w_r方向的总的反射光能量。如下面的积分公式，L_r代表沿着出射方向w_r上的由dA反射的总能量，L_i是沿着入射方向w_i 射入dA的能量，f_r是换算比例，沿着方向积分即可将所有方向的“贡献”加和。

渲染方程

物体表面发出的光由L_e->自发光和L_r->反射光组成

简化方程得下图，可以看到直接光照和间接光照的关系，直接光照就是光线只弹射一次，间接光照是光线弹射两次以上，因此光栅化只能完成直接光照部分，光线追踪可以完成间接光照的部分。

怎么渲染 -> 怎么解方程？

Whitted-Style方法做了一个假设，光线遇到反射\折射材质就继续追踪，遇到漫反射材质就停下来做着色。这个假设并不符合物理，漫反射也会反射。因此引入路径追踪就是为了解决这个问题。

注意：路径追踪不太好处理点光源，因此假设的光源都是面光源

• 蒙特卡洛积分 -> 用数值方法去算一个复杂定积分的近似值

• 简单算例 -> 直接光照

假设物体不发光并且只考虑直接光照，渲染方程只剩下反射项，同时均匀采样，因此半球的总立体角为2π，概率密度函数=1/2π，得到下面的反射方程

其中，p是着色点，wi是入射方向，wo是出射方向，这种情况就要遍历所有入射方向

• 拓展到间接光照 -> 递归计算

• 只采样一个方向（N=1） -> 减少计算量

• 发射多次光线 -> 减小噪声，模拟一条光线往多个方向反射的效果

对于一个屏幕上的像素，从相机处发射多次穿过这个像素的光线，一次一条，对这条光线做只采样一个方向的路径追踪，得到多次光线的平均颜色。

• 采样方式优化 -> 减小浪费的光线

对于一次追踪就可以到达光源的情况（直接光照），利用换元积分法，将在着色点上的积分以及对入射角的采样，转换到对光源（面光源）采样以及在光源上积分。这样可以在光源面积较小时，避免射出“浪费”的光线。

以dw为半球原点，对dA求一次立体角，立体角等于面积/距离平方。这样即可获得dw和dA的关系。

注：对光源采样只能处理直接光照，间接光照是没办法简化的，还是会“浪费”很多光线，（例子：wi取了100个方向，但是只有2个方向的光线可以打到光源附近的，因此其他光线就“浪费”了。）解决这种问题可以使用BDFT。

• 处理直接光照的遮挡问题

BRDF的一些性质

1. 非负性：fr >= 0
2. 线性：BRDF是线性变换
3. 可逆性：入射方向和出射方向可以互换，BRDF不变
4. 各向同性\异性：BRDF只与相对方位角有关 -> 各向同性，BRDF与绝对方位角也有关 -> 各向异性
5. 能量守恒

材质与渲染方程 -> 材质 = BRDF

颜色的准确定义

不同的材质，不同的方程

• Glossy、Diffuse、Lambertian -> 漫反射 -> BRDF

处理漫反射就是用之前学过的Path Tracing去采样间接光照的光线方向

• Specular -> 镜面反射 -> BRDF

• Refractive -> 折射 -> BSDF

菲涅尔折射定律 ->

Microfacet Material 微表面材质 -> 一种基于物理的材质(state-of-Art)

定义

物体的表面是凹凸不平的，宏观的表面由许多微小的平面构成，光线在每个微平面上发生理想镜面反射或折射。

作用

通过改变微表面的法线分布，可以改变其对光的反射和折射效果。

应用

参考链接 ->

高级光线追踪简介 -> 学术界前沿

这一部分就不详细介绍了，感兴趣可以根据我我给出的参考链接学习

无偏光线追踪

• 双向路径追踪 (Bidirectional Path Tracing)(BDPT) ->

• Metropolis Light Transport (MLT) ->

有偏光线追踪

• 光子映射 (Photon Mapping) ->

• Vertex Connection and Merging(VCM) ->

实时辐射度算法(Instant Radiosity) ->

高级材质表面

参与介质 ->

毛发材质 ->

次表面散射 ->

布料材质 ->

颗粒状材质 -> 用的不多