前言

本文可能不太适合入门学习（因为没有从很基础的部分讲起），仅仅作为自己个人的关键知识点总结，以帮助有一定基础的，需要快速区分、回顾一些量子基础知识的人。

参考资料：

• Quantum Computation and Quantum Information，Michael A. Nielsen & Isaac L. Chuang.
• MIT Quantum Information Science II：https://openlearninglibrary.mit.edu/courses/course-v1:MITx+8.371.1x+2T2018/course/
• CMSC 33001 Quantum Computing Systems：https://www.youtube.com/watch?v=iwsxgs73buo&list=PLfOgkuiMs5qCa8BUrFMumyvPqeoOL-iu8&index=1

Qubit

下面我们简单介绍一下量子比特的基本概念。

关键：

• 区分量子比特与经典比特的不同。
• 量子态中，区分纯态与混合态的不同。

Deterministic qubit（Pure state）

在量子计算机中，我们通过量子比特来存储信息，我们称其为qubit。

qubit与经典的bit不同，它具有一个叠加态的性质（superposition）。

对于n个qubits，qubits的状态是2^n经典状态的叠加。

因此一个量子比特，能够表示的状态空间为：
|\psi\rangle\in C^2

对于n个量子比特，表示的状态空间为：

|\psi\rangle\in C^2\otimes C^2...\otimes C^2=C^{2^n}

当然，也不一定是qubit，可以是d维度的类似量子比特的信息单元，但是qubit是使用最多的。

Random qubit（Mixed state）

上述的量子比特的量子态和经典比特的状态都是确定的，但是世界上不一定总是处于已知的量子态，也有可能处理未知的量子态。

未知（随机）的状态，在经典状态中，指的是有某个概率是某个状态。在量子状态中，指的也是有某个概率是某个量子态。（在量子领域，用专有名词：混合态-mixed state来表示上述的未知量子态）

举一个简单的例子，来理解经典中random的状态：

假设我们有一个硬币，我们在经典中抛出，假设我们获取字面，则获取1，或者花面，则获取0。

在抛出之后，本质上硬币是属于某个状态（0或者1），但我们不观察硬币，将不知道硬币到底是0还是1，但我们有希望能够描述硬币的状态，即可以通过一个概率分布（理想情况下，50%是0，50%是1）来描述当前硬币所表示的状态。

注意：当你根据某个可观测量（observable），测量一个量子的状态时，你同样会得到一些概率。注意区分量子态中测量的概率与混合量子态中的概率。

Quantum state of qubits

量子态可以通过下面三种基本数学工具来描述。

个人简单理解：

• State vector只能描述纯态，并且通过向量的形式。
• Density matrices可以描述纯态和混合态，并且通过矩阵的形式存储。
• The Bloch sphere将一个量子比特的量子态直观化的巧妙工具。可以通过存储两个角度θ、ψ和一个长度r来描述某个量子态，并且根据其几何含义，画到3D球体中。（其中球体表面、内部的点都可以看作量子态，球体表面可看作纯态，球体内部可看作混合态）

关键：需要大致了解不同方法是如何表示的，有什么常用的数学特性（定理）。

State Vector

State Vector中文通常称为状态向量，由于一个量子态通过数据公式描述如下：

|\psi\rangle = \alpha_0|0\dots0\rangle+\alpha_1|10\dots0\rangle+\dots\alpha_{2^n}|1\dots1\rangle

其中n表示量子比特数目。

我们可以仅仅按顺序存储前面的系数，就可以表示整个量子的状态，可以写成如下列向量的形式：

[\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_{2^n}]^T

因此，可以将量子态表示为：

|\psi\rangle = [\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_{2^n}]^T

其中：

|i\rangle = [0,0,\dots,1,\dots,0]^T

当然，在量子力学中有一种说法：狄拉克符号或狄拉克标记（Dirac notation）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的态向量，定义为右矢（ket）：|\psi\rangle；每一个右矢的共轭转置定义为其左矢（bra） \langle \psi| ；换一种说法，右矢的厄米共轭（即取转置运算加上共轭复数运算)，就可以得到左矢。

|\psi\rangle = [\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_{2^n}]^T \\ \langle \psi| = [\alpha_0^*,\alpha_1^*,\dots,\alpha_{2^n}^*]

纠缠态：

这里稍微从量子计算与量子信息角度，讲解一下比较容易混淆的纠缠态，首先纠缠态也属于一种纯态。简单理解，可以理解为多个量子比特之间发生了量子纠错所产生的量子态，测量其中某一个量子比特状态，就可以确定另一个量子比特状态。

常遇到的纠缠态：

贝尔态（Bell state）有两个量子比特之间的纠错：

|\beta_{xy}\rangle = \frac{|0,y\rangle+(-1)^x|1,\overline{y}\rangle}{\sqrt{2}}

其中x,y通常表示输入到贝尔制备电路中的输入比特：

|\beta_{00}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0,0\rangle+|1,1\rangle)

明显，当我们测量到第一个量子比特为0时，第二个量子比特也为0，1同理。

GHZ态（GHZ state）的量子比特数M大于2：

|GHZ\rangle=\frac{|0\rangle^{\otimes M}\pm|1\rangle^{\otimes M}}{\sqrt{2}}

注意：

• 纠缠态无法通过两个量子态直积而得，两个量子比特之间的独立的（无纠缠），才可以通过直积。并且多体纠缠态，其可能由混合态组合。

希望得到较为全面的了解可以参考：https://www.phy.pku.edu.cn/jhchen/files/Q-3.pdf（量子纠缠、混态与量子系综）

Density Matrices

其实通过状态向量，就可以表示所有的量子态，但为什么需要密度矩阵呢？ 两个原因：

1、通过状态向量无法表示混合态。

或许你可以通过 (p_x,|\psi_x\rangle) 表示有p_x的概率是 |\psi_x\rangle 状态，假设我们需要考虑 p_x=0 的话，理论上可能有无限个对 (p_x,|\psi_x\rangle) ，但理论上，我们可以通过密度矩阵的有限维度表示。（意会一下，Quantum Information Science II -MIT中提及的。但这个感觉并不关键，关键是通过向量形式，确实无法表示混合态）

2、通过上面的状态向量表示，我们发现，我们需要主动设置一个基才能表示量子态。

举一个简单的例子：

|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle+|1\rangle)

其状态向量为：

(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})

但当换一组基（basic）时表示：

比如用 |+\rangle 和 |-\rangle ：

|\psi\rangle = 1*|+\rangle+0*|-\rangle

此时其状态向量为：

(1,0)

因此，我们在确定一个状态向量时，首先要确定其基（一般我们是用|0\rangle,|1\rangle这类基，也被称为一般标准正交基）。

密度矩阵我们采用\rho符号来表示，数学定义可以由如下：

\rho = \sum_{i=0}^{2^n-1}p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|

上述密度矩阵的定义是通过量子态定义的，当然通过一定的数学推导，我们可以得到其另一种等价的密度矩阵数学定义：

tr(\rho) = 1\\ \rho\ge0

中文描述，矩阵 \rho 的迹为1，并且为正定矩阵，则 \rho 可称为密度矩阵。

The Bloch Sphere

布洛赫球体（Bloch Sphere）有两种理解。

理解一：我们用角度描述的状态向量来表示纯态。

|\psi\rangle = cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle+e^{i\varphi}sin(\frac{\theta}{2})|1\rangle\\ 0\le\theta \le \pi\\ 0\le\varphi \le 2\pi

混合态，可以通过下面向量（不是状态向量）来描述，在图中可以用：

|\Psi\rangle = r[cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle+e^{i\varphi}sin(\frac{\theta}{2})|1\rangle]\\ 0\le\theta \le \pi\\ 0\le\varphi \le 2\pi \\ 0\le r \le1\\

图中r为距离原点的距离， \theta 表示与z轴的夹角， \varphi 表示在x-y平面的投影与x轴的夹角。当r为1时，表示纯态。（注意，上述已经忽略了全局相位）

理解二：我们从Bloch Sphere来理解量子态。

由于任意量子态的密度矩阵可通过泡利算符分解为如下：

\rho = \frac{I+\sum_{i=1}^3r_i\sigma_i}{2}=\frac{I+\vec{r}\cdot\vec{\sigma}}{2}

其中 ||\vec{r}||\le1 ，并且称为Bloch vector（布洛赫向量），即上图中的 \Psi （没有找个比较好的画图Bloch Sphere软件，因此使用的别人的图片）。同时上述密度矩阵的特征值：

eigs(\rho) = \frac{I\pm\|\vec{r}\|}{2}

角度与状态向量之间的关系：

\vec{r} = r[sin\theta cos\varphi,sin\theta sin\varphi,cos\theta]^T

其他结论：

• 量子态作用为泡利 \sigma_x ，相当Bloch vector绕x轴旋转180°，同理y、z泡利算符。
• 纯态在Bloch Sphere表面，混合态在Bloch Sphere内部，其中 \frac{I}{2} 表示原点，称为最大混合态（不论选择任何一对正交基，测量的概率都是相等的）。
• 任意角度旋转矩阵： R_x(\theta) ， R_y(\theta) ， R_z(\theta) 。

R_x(\theta)=e^{-\frac{\theta}{2}\sigma_x}=cos(\frac{\theta}{2})I-isin(\frac{\theta}{2})\sigma_x\\ R_y(\theta)=e^{-\frac{\theta}{2}\sigma_y}=cos(\frac{\theta}{2})I-isin(\frac{\theta}{2})\sigma_y\\ R_z(\theta)=e^{-\frac{\theta}{2}\sigma_z}=cos(\frac{\theta}{2})I-isin(\frac{\theta}{2})\sigma_z=\begin{bmatrix} e^{-i\theta/2}&0\\ 0&e^{i\theta/2} \end{bmatrix}= e^{-\theta/2} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\theta} \end{bmatrix}

任何单量子门U，可以写成：

U=R_z(\theta_3)R_x(\theta_2)R_z(\theta_1)=R_z(\theta_a)R_y(\theta_b)R_z(\theta_c)

任何单量子门的用于，也可以理解为Bloch vector绕某个 \vec{n} 轴进行旋转。

• 其中H门，为绕 (\vec{x}+\vec{z})/\sqrt{2} 进行旋转180°（不考虑全局相位）。