首先我觉得标题不是很合适，但是看到的文章直译过来大概就是这样，或者英文称为

implementation of quantum walk on quantum computer

这篇文章主要参考了两篇论文

Implementation of quantum random walk on a real quantum computer

2020年的文章，大概2019年的工作。

摘要：量子漫步用来设计量子算法很有用，尤其是现实世界可建模的图论问题。但是只有在量子计算机上有效实现才有实用价值。该研究设计并实现了一个能在真实量子计算设备上实现的量子线路（quantum circuit），首先聚焦最直接的一维量子漫步算法，进一步在IBM提供的真实量子计算机和量子计算模拟器上开发出并实现了量子线路，最后展示了量子线路在两种设备上的表现和结果。

介绍

一维直线上量子漫步（one-demensional quantum random walk OQRW）的优势：能用来构造复杂图上的量子漫步如环和通用图（general graph）；是用来研究量子漫步性质的简单模型；是测试量子计算设备的测试工具。

该研究构造，操控并提交运行了在IBM的量子计算模拟器和真实量子计算机上的量子线路。

IBM有9个量子计算机和一个量子模拟器，包括15qubit，7个5qubit和单qubit机器，且提供了量子信息软件包Qiskit。Qiskit 是量子计算机和用户之间交互的开源框架，在其帮助下同样的线路和程序源代码可以在模拟器和量子计算机上实现，其提供了多控制托夫利函数（multi-controlled-Toffoli MCT），用多控制qubit实现应用Toffoli操作，MCT由4个参数组成，一系列控制qubit，目标qubit，一系列辅助qubit（ancilla），和使用模式。模式包括basic, basic-dirty-ancilla, advanced, and no ancilla，不同模式的辅助qubit要求不同。量子操作集合则由输入参数和选择模式确定。

该研究执行了OQRW线路在IBM的量子模拟器上和称为ibmq_16_melbourne，15qubit的量子计算机上，进一步比较了用基本量子门和MCT实现的OQRW线路的不同。

量子漫步与线路模型

该研究考虑了离散的OQRW，离散OQRW由漫步者，硬币，演化算符构成。漫步者可以是图上的粒子或identity？可能的路径取决于联通的节点和边；硬币是一个决策空间的态。行走到联通节点和边的下一步由硬币态决定。即包含于一般的离散时间量子漫步，测量在漫步过程的最后一步进行。漫步者的计算空间（希尔伯特空间） H =H_p\otimes H_c 。

应用在漫步者的行走的每一步的演化算符序列是硬币算符和条件迁移算符。该实验中，硬币算符采用Hadamard算符，将硬币态转化为叠加态即

\begin{array}{l} H|0\rangle_c = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_c+|1\rangle_c)\\ H|1\rangle_c = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_c-|1\rangle_c) \end{array}

条件迁移算符S基于硬币空间的态定义为

\begin{array}{l} \mathrm{S}\left(|0\rangle_{c} \otimes|i\rangle_{p}\right)=|0\rangle_{c} \otimes|i+1\rangle_{p} \\ \mathrm{~S}\left(|1\rangle_{c} \otimes|i\rangle_{p}\right)=|1\rangle_{c} \otimes|i-1\rangle_{p} \end{array}

每一步的演化算符定义为

U=S\cdot(H\otimes I_p)

下标c表示硬币态，p表示位置态。离散量子漫步中，迁移算符是关键函数操控漫步中的位置空间依据硬币态。

量子增量线路（quantum incrementer circuits)的三种符号。 (n:0) ,n表示qubit的数量，Fig1表示控制反转门， \oplus 代表目标qubit，黑点代表控制qubit。如果每个连接的黑点的量子态是 |1\rangle ，那么目标qubit将反转。

然而Fig1的线路需要量子门有超过两个2个控制qubit，因而将增量(n:0)分成两种情景，即从标准量子逻辑门包括NOT，CNOT，Toffoli门构造的 (n:n-1:RE) 和 (n:n-1:RD) ，其中n表示qubit数量，n-1表示携带比特（carrying bits）的数量，RE/RD 表示允许或禁止重置携带qubit（enable/disable reset carry qubits)。

(n:n-1:RE) 源自 (n:0) 线路采用了“完全辅助qubit"(full ancilla qubits)技术，其主要思想是在两个控制qubit之间添加一个辅助qubit，图2-3展示了符号(n:n1:RE)与幺正性质约简前后的比较。该线路中，辅助qubit在经过CNOT或Toffoli门的变换后总是被重置为 |0\rangle 。 (n:n-1:RD) 线路符号和该研究无关，不做介绍。

为了构造一个减量电路（decrementer circuit），符号(n:n1:RE)可以用二的补数和一的补数技术（techniques of two’s complement and one’s complement）来应用。图4显示了具有有条件地前进和后退能力的迁移算符（shift operator）。但是，正如前一节所解释的，Qiskit提供了MCT函数。然后，利用MCT函数的四种模态构造迁移算符。并不是在符号(n:n1:RE)上应用完整的辅助量子位，移位算符的部分(图4中的矩形框)可以用MCT代替。

实验结果与讨论

IBM量子计算模拟器上5个位置态qubit

在本实验中，比较了两种不同迁移算符实现的五位置态量子比特的OQRW电路。首先，迁移算符由符号(n:n1:RE)构造，如图4所示。另一方面，迁移算符是由Qiskit提供的MCT构造的。所有MCT的操作模式，包括basic-dirty-ancilla, advance, and no-ancilla，都被应用。为了初始化电路，5个量子比特被设置为状态 |01111\rangle_p 。这两个量子比特是初始化为 |0\rangle 的辅助量子比特。另一个量子比特被用作硬币状态，并初始化为 |0\rangle 。行走的数轴范围在-15到16之间。行走的最大步数是13步。该电路是在Qiskit的量子计算模拟器qasm_simulator上计算的。测量重复次数为1亿次。

实验中，发现5个线路的概率分布是相同的。如表一所示，MCT功能上所需辅助qubit的数量也取决于操作模式。basic and basic-dirty-ancilla模式要求辅助qubit数目大于等于控制qubit减去2？使用四个控制qubits的MCT函数，需要两个或更多的辅助qubits。然而，高级和无辅助模式（advanced and no-ancilla ）不需要任何辅助。在电路深度方面，(n:n1:RE)量子漫步线路的深度最小。当MCT函数应用于电路中时，线路的深度会增加。最大线路深度来自使用无辅助模式MCT的电路。一旦应用MCT函数到线路中，该函数将生成一组量子门，这些量子门在给定的控制、辅助和目标qubit列表上操作。不同的模式会产生不同的量子门，从而影响线路的深度。因此，在应用MCT函数时，需要考虑线路深度。此外，计算壁时间(wall-time)也与线路深度的数量有关。电路深度越大，表示相同qubits上堆叠的量子门越多。然后，量子计算机或模拟器需要花费更长的计算时间。

真实量子计算机上的量子漫步

在真实的量子计算机上进行了量子漫步，研究了两qubits量子漫步线路，由于实际量子计算机的局限性，位置态qubit减少。在这个实验中只需要三个qubits。初态设置为q0,q1设置为 |01\rangle_p ，q2设置为 |0\rangle_c ，硬币算符为Hadamard算符，数轴范围在-1和2之间，因此行走的最大步数是1？该线路将在真正的量子计算机ibmq_16_melburn上计算。测量重复次数为8192次。

在本实验中，由于行走步数较少以及qubit位置态的大小，电路总深度减小到8。如图5所示，测量概率在两个计算平台是不同的，模拟结果表明，概率分布与理论相符。相比之下，在真正的量子计算机上测量的概率分布包括两个与理论相矛盾的量子态01和11。这个问题可能是由于真正的量子计算设备中的噪声而导致的，这可能被视为一个错误。基于量子现象构建的设备上的噪声通常是由qubits与环境之间的相互作用产生的。IBM的量子计算机是在超导技术下建造的，需要极低的温度才能运行。因此，超导量子比特有一个可以容纳量子信息的时间尺度限制，称为相干时间。当与理论比较时，所有这些原因都会导致测量结果不一致。

结论

该研究调查了三个主题，一维量子漫步算法（OQRW）及其该线路的实现，比较了使用基本量子门和IBM的Qiskit的MCT函数构造迁移算符的量子漫步线路，在第一个实验中，当两个具有不同迁移算符的量子线路在量子计算模拟器上执行时，得到了相同的概率分布。然而，由于线路深度较小，从基本量子门迁移算符花费的计算壁时间最低。另一方面，在MCT的advance, and no-ancilla模式下的迁移算符需要最少的辅助数量。在第二个实验中，OQRW电路在真正的量子计算机上运行，但只能操作非常少量的位置态qubits。与理论相比，从真正的量子计算机测量的结果是不同的，这可能是噪声的影响。由于硬件的限制，在真正的量子计算机上的电路实现仍在讨论中

参考文献

Warat Puengtambol et al 2021 J. Phys.: Conf. Ser. 1719 012103
Quantum Information Processing (2020) 19:426 https://doi.org/10.1007/s11128-020-02938-5