窦华书:我是怎样创立能量梯度理论的?
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2023-10-03 04:40:16
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本文节选自窦华书教授的科学网博客。




引导语:作者1988-1991年在北京航空航天大学攻读空气动力学专业博士学位时,研究的课题是“激波与湍流边界层干扰”。研究过程中,对湍流问题的本身产生了深厚的兴趣,并阅读了大量文献。主要原因,众所周知,湍流问题是物理学百年难题,吸引了众多科学家研究此项课题,著名诺贝尔奖获得者海森堡终生都未能解决,而且此问题对航空航天等学科又如此重要。多年来一直对湍流问题进行着考虑,然而依旧是百思不得其解。后来在澳大利亚悉尼大学流变学课题组进行非牛顿流体力学的CFD研究时,一个偶然的机会,从粘弹流体力学的研究启发,萌发了对湍流转捩的机理的想法。然后,经过深入思考,反复验证,终于建立起了用于研究流动失稳和湍流转捩的能量梯度理论,成功解决了湍流难题,理论预测结果与所有得到的实验数据一致。这是一个典型的种花得柳的案例。研究的课题是雷诺数接近于零的粘弹性流动,最终得到了在高雷诺数下湍流转捩的理论。可以设想,如果当初通过立项,专门研究湍流课题,可能永远也解决不了湍流问题。此案例说明,自然科学领域里的原始创新工作不是计划出来的,不是通过课题论证事先安排出来的,也不是进行攻关就可以成功的。湍流问题的攻关,国际上已经持续进行了140年(1883-2023),而且集中了全世界若干位最优秀的科学家,也没有能够成功(包括若干位诺贝尔奖获得者,包括著名物理学家周培源教授,著名华人应用数学家林家翘教授等)。

下面内容是翻译自作者出版的专著里面的第四章[1]。


4.2能量梯度理论的建立

4.2.1湍流产生的局部性

对于牛顿流体,Emmons(1951)在平板边界层流动实验中观察到,层流到湍流的转捩在开始阶段是一个局部现象,然后形成湍流斑。然后,他描述了湍流斑的形成原理,以及通过一定频率的有限振幅扰动扩展到完全湍流的原理(图4.1)。从那时起,人们认为从层流到湍流的转捩不是在整个流场中突然发生的,而是首先从流场中的某个位置开始,然后从该位置逐渐扩展。自然地,在流场中找到这样一个最初湍流斑出现的位置具有重要意义。

众所周知,在固体力学中我们了解到,机械设备中金属部件的损坏通常是首先从某个位置先开始的,例如制造缺陷、裂纹、应力集中或疲劳等。在流体力学中,我们认为一个稳定层流的破坏也应该首先从一个最危险的位置开始,该位置应该是湍流斑最初形成的位置。找到这个位置将是解决湍流转捩问题的第一步。这样,我们可能会面临以下问题:

(a)形成这种湍流斑现象的机制是什么?

(b)湍流斑现象的主导因素是什么?应该用什么参数来描述这种情况?

(c)对平面Poiseuille流动,最危险的位置在哪里?

这些问题是我们关心的。找到这些问题的解决方案对于理解湍流转捩这一现象和估算流动转捩的临界条件非常重要。(注:为什么要选择研究平面Poiseuille流动,这是一个经典例子,当年海森堡、林家翘、Jhon von Neumann、Orszag等人都是研究的这个经典流动例子)。



图4.1平板上边界层流动中层流向湍流转捩期间的湍流斑(来自Emmons 1951)。

由于林家翘先生(1944)著名的渐近性分析工作(线性稳定性分析),发现了平面Poiseuille流动在达到临界雷诺数时是确实是不稳定的,人们认为一个平滑的层流向湍流的转捩是由流动不稳定引起的。因此,预计湍流转捩的临界条件应与首先发生流动不稳定的位置有关。如果找出流动不稳定的机理并找到最危险的位置,就可以确定湍流转捩的临界条件。

根据实验和数值模拟的观察,发生最初不稳定的位置可能不一定与湍流斑形成的位置一致。然而,首先发现流动不稳定的位置是一个重要的步骤。

4.2.2粘弹性流动数值模拟结果的启发

1996年至2002年,作者在澳大利亚悉尼大学流变学课题组跟随Nhan Phan-Thien教授进行粘弹性流动的大尺度数值模拟项目。那时,在非牛顿流体力学领域粘弹性流动研究中,大家面临的一个非常困难的问题是模拟中的高德博拉数(Debarah)问题。在由polymetric melt构成的粘弹性流动中,雷诺数接近于零。随着德博拉数的增加(弹性增加),用计算算法求解流动变得困难。当德博拉数超过一临界值时,模拟将无法进行,并趋于发散。这就是所谓的“高德博拉数问题”或“高魏森堡数问题”。我们认为导致问题的原因可能来自两个方面。一个是数值方法在处理大De数下的高弹性应力梯度时失败的局限性,另一个是在临界Deborah数下流动可能在物理上是不稳定的。对于后者,方程模型本身无法处理这种不稳定性。作者通过网格布置和数值格式的仔细模拟发现,法向应力在弯曲壁面法线方向上的梯度可能是物理流动不稳定性的来源,法向应力导致垂直于壁面的压力梯度。这种压力梯度导致二次流离开壁面,速度分布会出现拐点。这是首次在雷诺数为零的粘弹性流中发现导致不稳定性的速度拐点(Dou and Phan-Thien(2001b、2002、2007、2008))。

Joo and Shaqfeh(1992)在Dean和Taylor Dean流中发现了纯弹性不稳定性,这表明间隙中的弹性法向应力梯度对不稳定性起作用,弹性法向应力导致压力梯度垂直于曲面。

Groisman and Steinberg(2000)对弹性流体流动进行了实验,发现雷诺数为零的弹性应力可以产生湍流(发表在Nature 2000)。实验结果显示出无对流惯性的弹性湍流与牛顿流中的湍流具有相同的行为。



图4.2Dou and Phan Thien(2001b,2007)通过数值模拟得到的圆柱和壁面之间间隙内的压力沿垂直于流动方向的分布。

(a)牛顿流动;(b)非牛顿流动(粘弹性流体)。

Dou and Phan Thien(1998年、1999年、2001a年、2001b年、2002年、2003年、2007年、2008年)研究了通过两平行平壁面之间圆柱绕流和两个平行壁面之间的线性串列圆柱绕流的粘弹性流动,流动的雷诺数接近于零。研究发现,当德博拉数(Debarah)大于临界值时,流动不稳定,计算出现发散。发现这一机制是由于圆柱表面上的弹性法向应力引起的,该应力在圆柱和通道壁之间的间隙中产生垂直于流动方向的压力梯度,如图4.2所示,



(4.1)

这种垂直于流线的横向压力梯度导致法向流动离开圆柱表面,并导致速度出现拐点,从而导致圆柱表面上的流体流动不稳定(Dou and Phan Thien 2001b;Dou and Phan-Thien 2007)。后来,英国卡迪夫大学的Claus和Phillips(2013)对经过圆柱的粘弹性流动进行了进一步的数值模拟,并证实了Dou and Phan-Thien(2007)关于圆柱侧面曲线表面流线弯曲引起的流动不稳定性的发现。

对横流方向压力梯度产生的不稳定性和对湍流现象的直觉使作者将低雷诺数下的粘弹性不稳定性与高雷诺数下牛顿流的不稳定性联系起来。可以想象,自然界中所有类型的湍流(如剪切流湍流、热对流湍流、弹性湍流、沿曲面的粘弹性湍流和磁流体湍流等)中可能存在一种普遍的湍流产生机制。通过这种方式,发展了一种关于流动不稳定性和湍流转捩的普遍理论,并被命名为“能量梯度理论”(Dou,2004a)。经过二十年多的持续研究,这一理论已被许多学术和工程问题所证实。它已成功地用于离心泵、混流式水轮机、离心风机、离心压缩机和旋风分离器等的性能改进。更重要的是,能量梯度理论导致发现了纳维-斯托克斯方程的奇异性,这在数学上证明了转捩流和湍流中,纳维-斯托克斯方程不存在光滑且物理合理的解(Dou 2021a;Dou 2022b)。(注:这个结论,对著名的千禧年大奖难题之一,Navier-Stokes方程的存在性与光滑性,在国际上首次给出了正确的答案,即对转捩流动和湍流流动,Navier-Stokes方程不存在全局定义域上的光滑解[1-8]。)。

4.2.3流动不稳定性的动能梯度观察

牛顿流体通过两个平行平板间的平面Poiseuille流动如图4.3所示。对于给定的流动几何形状和流体性质,随着平均速度U的增加,如果Re超过临界值(在一定扰动下),流动可能转捩为湍流。层流和湍流的速度分布分别如图4.4所示。观察到没有垂直于壁面的压力梯度。然而,我们发现动能在通道宽度上并不均匀。动能的梯度与压力的梯度具有相同的尺寸,它可能是导致流动不稳定性的候选因素,这个影响类似于粘弹性流动中的垂直曲面的压力梯度。受此启发,进一步研究动能梯度与压力梯度之间的关系,通过总机械能的变化,得出了一个新的稳定性准则。



图4.3平面Poiseuille流中给定流体和几何形状的速度分布随雷诺数的增加而变化。Re=ρUL/μ,L=2h,其中h是通道的半宽度。



图4.4层流和湍流的平均速度分布(Dou 2004a)。随着Re的增加,某种“驱动力”将层流速度分布曲线拉向壁面并变平,从而导致湍流转捩。

可以想象,当不稳定发生时,存在一个“驱动力”,将层流速度分布向外拉向壁面(图4.4)。这种“驱动力”应该是什么,根据以上讨论和大量实验观察,



(4.2)


在给定的初始流动条件下,可能形成这样一种“驱动力”以引起流动扰动的增加,而由于粘性摩擦引起的机械能损失的梯度可能会抵抗或吸收扰动的发展。这里,V是局部速度的大小。

由于动能梯度和压力梯度之和是总机械能的梯度,因此可以推测,牛顿流和非牛顿流中的流动不稳定性都是由总机械能的流线横向梯度引起的,而沿流线的摩擦力引起的能量损失可能会抑制扰动。这两种作用决定了流动不稳定性的发生与否。这两种作用的相对大小应该是表征这种不稳定性的一个指标。

对于牛顿流,随着平行流平均速度U的增加,壁面法线方向的机械能梯度增加。如果该机械能梯度足够大,则可能导致流动的扰动放大。剪切应力引起的粘性摩擦将通过吸收速度扰动来稳定流动。

当壁面法线方向的总机械能梯度超过临界值时,层流将无法平衡这种扰动,可能会激发流动不稳定性。最后,当流线法线方向能量梯度持续保持足够大时,湍流将被触发。壁面法线方向上的机械能梯度使得流体层之间的能量交换并维持湍流。因此,在主流的壁面法线方向上存在机械能梯度是湍流转捩的必要条件。

现在,我们证明这个必要条件至少对于平行流是正确的。如果忽略重力能,壁面法线方向上的总机械能梯度为



,对于平行流,



。如果这个机械能梯度是零,则一定是





。因此,因为扰动由于零速度梯度而无法从基流获得能量,由于粘性耗散,扰动能量的增加率将是负的(Drazin and Reid 2004;Betchov and Criminale 1967)。因此,在这种情况下,扰动必须衰减。通过这种方式,证明了壁面法向上的机械能梯度是流动转捩的必要条件。


4.2.4基于总机械能梯度的稳定性准则

在旋转流中,离心力和哥氏力都能够通过产生压力梯度来影响流动稳定性。当流动方向的法线方向存在压力梯度时,即使雷诺数较低,该压力梯度也可能导致流动不稳定,或根据压力梯度的方向减弱流动不稳定。因此,流动不稳定性的机制应考虑到弯曲流动情况下流线横流方向压力梯度变化的影响,这可能导致流动不稳定性或加速不稳定性的产生。在不可压缩流(如分层流)的某些情况下,应考虑重力能。因此,如上所述,总机械能在垂直于流线的方向上的梯度可能导致平行流和弯曲流的不可压缩流的流动不稳定性。

对于给定的流动几何形状和流体性质,我们提出对所有牛顿流和非牛顿流的流动稳定性条件可以统一地表示为(Dou 2004a),



(4.3)

其中是gy是y方向重力加速度的分量,C是与流体性质和几何形状有关的常数。x轴沿着流动方向,y轴沿着流动的法线方向。等式(4.3)表示总机械能在流线横向方向上的梯度导致不稳定性。这就是“能量梯度概念”和“能量梯度理论”名称的由来。我们认为,等式(4.3)对于任何条件和任何流体介质(包括牛顿流体、粘弹性流体和磁流体流动等)下的流动不稳定性是通用的。不可压缩流动中的所有不稳定性都是由总机械能在流线横向方向上的梯度引起的。

与壁面流动中线性扰动的特征值分析不同,根据观察,在有限扰动条件下,粘性对平行流中的流动始终起稳定作用。因此,总机械能沿流线法线方向的梯度起着不稳定的作用,而粘度通过粘性摩擦对扰动起着阻尼和稳定的作用。因此,提出粘性流的不稳定性取决于流线法线方向上的机械能梯度和由于粘性摩擦引起的沿流线的机械能损失的相对大小。在流线法线的流动方向上较大的机械能梯度试图导致扰动的放大,而在流向上的较大机械能损失倾向于吸收这种扰动并保持原始层流状态。层流向湍流的转捩取决于给定初始扰动下扰动能量放大和粘性摩擦阻尼两个作用的相对大小。当流线法线方向的机械能梯度超过临界值时,层流无法平衡这种扰动,可能会激发流动不稳定性。最后,当流线法线方向上的机械能梯度随着流动的前进而持续保持足够大时,就会触发湍流。

另一方面,对于没有能量输入的隔离系统,观察到流体流动总是由总机械能沿流向的梯度引起的。流动不稳定性总是由总机械能沿流线法线方向的梯度引起的。如果总机械能沿流向没有梯度,流动就会停止。如果沿着流线的法线方向没有总机械能的梯度,流动就永远不会不稳定。在压力驱动流中,总机械能沿流向的梯度等于粘性摩擦引起的机械能损失率。因此,流动不稳定性可以通过两个方向上总机械能梯度的作用来描述。通过这种考虑,可以建立流动不稳定性模型。

根据上述讨论,无量纲稳定性参数建议为,



. (4.4)

其中,



是单位体积流体的总机械能,H是单位体积流体沿流线的总机械能量损失,与E具有相同的量纲,n是沿流线法线方向,s是沿流线型方向。因此,K是一个流场的无量纲函数,称为能量梯度函数。(注:公式(4.4)对任何剪切流动,是一个表征流动稳定性的通用函数,包括压力驱动流动和剪切驱动流动)。

对于没有能量输入或输出的系统,总机械能的损失大小等于总机械能沿流线的下降,例如在压力驱动流中。因此,对于压力驱动流,等式(4.4)可以改写为:



. (4.5)

利用方程(4.4)和(4.5),可以分析各种基本流动的稳定性,并确定失去稳定性的最危险位置的位置。值得注意的是,等式(4.4)和(4.5)中K值的符号在具体问题中并不重要,而其大小具有重要意义(图4.5)。在计算中,我们总是取正值。



图4.5 公式(4.5)中能量梯度函数K的示意图。K=tan (alpha)。

讨论:

公式(4.4)和(4.5)中的能量梯度函数K是一个无因次的流场坐标的函数,并正比于全局雷诺数(Global Reynolds number),其物理意义为一个当地雷诺数(局地雷诺数)

公式(4.4)和(4.5)中,计算K时,把流场的速度和压力分布带入分子和分母,即可计算出K的流场分布。

当K=0,基本流动没有放大能力,任何扰动都会被damp掉,流动是稳定的。

当K

当K>Kc并小于无穷大,流动失稳及湍流转捩取决于扰动大小。

当K为无穷大,总机械能的梯度垂直于速度矢量,成为流场中的奇点,流动失稳转捩为湍流。

上面Kc为层流到湍流转捩的最小临界雷诺数对应的K的临界值。

把Navier-Stokes方程代入公式(4.4)或(4.5)中,即可推导出湍流转捩的准则。

上面介绍的这些工作是作者2006年之前的工作,此时的能量梯度理论还是一个唯像理论。2006-2011年,通过第一性原理,作者经过推导,对法向扰动,得到了在临界条件下,K 与扰动成反比的关系,此关系与壁面平行流动的实验数据取得了一致;并解释了实验得到的湍流转捩的物理机理,即在湍流转捩的临界条件,流场中出现了奇点(K为无穷大)(Hof et al.2003; Lemoult et al.2012等)。这一部分参见专著第七章[1]。


参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7(全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004.链接如下:https://arxiv.org/abs/nlin/0501049

3.科学网-海森堡的第二个问题终于有了答案,窦华书的博文。

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1361491.html

4.新书访谈,专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授。

5.窦华书教授成功破解了百年湍流难题,中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html

6.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展,浙江理工大学官网新闻。https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm

7.湍流是怎样产生的?最新研究进展!https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1341235.html

8.千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明,

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1337452.html

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