时间序列（二）：初识自回归模型AR、滑动平均模型MR
1. 纯随机过程与白噪声 (white noise)
随机变量X(t)(t=1,2,3……)，如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，即对于所有S不等于T，随机变量Xt和Xs的协方差为零，则称其为纯随机过程。对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差均为常数，则称之为白噪声过程。
白噪声过程的样本实称为白噪声序列，简称白噪声。无自相关性的平稳的时间序列就是白噪声序列。标准的正态分布和均匀分布都可以模拟出白噪声序列。
2. 线性时间序列
后面要介绍的AR、MA、ARMA，都是线性模型。
随着i的增大，系数趋近于0，远处的扰动 ati 对rt的影响会逐渐消失。
3. 自回归模型(Auto regression model)
AR(1)：
这说明在t1时刻的数据 rt1，对预测t时刻的rt可能是有用的。{at}是白噪声序列。
通过弱平稳性质可证：
弱平稳AR(1)自相关图如下，(a)系数=0.8，(b)系数=-0.8
AR(p)：
AR(p)的特征根及平稳性检验：
该方程所有解的倒数称为该模型的特征根，如果所有的特征根的模（向量的长度）都小于1，则该AR(p)序列是平稳的。
AR(p)的定阶：
实际应用中，一个AR序列的阶p是未知的，一般利用偏相关函数。
AR(p)序列的样本偏相关函数是滞后p阶后截尾的。
所谓截尾，就是快速收敛降到几乎为0，或者说在等于零的置信区间以内。下面以AR(2)、AR(3)的ACF、PACF图为例直观感受下。
4. 滑动平均模型（Moving Average Model）
用过去各个时期的随机干扰或预测误差的线性组合来表达当前预测值。
MA(q) q阶模型公式：
其中mu为常量。
MA(1)举例理解：Xt 为第t天的股票价格，而at为第t天的新闻影响。当天的股票价格受当天的新闻影响，也受昨天的新闻影响（但影响力要弱些，所以要乘上系数）。
限制条件：
MA模型的性质：
1）MA模型总是弱平稳的
2）MA(q)自相关系数
可想见，在现实模拟中， MA(q)的自相关系数会在k=1到q之间递减，在k>q后趋近于零。
3）MA的阶次判定
通过截尾可断 MA(q)的q阶值。下图即MA（2）的自相关图，可见“滞后q阶后截尾”。
小总结
最后一点暂不表，其实理解平稳性质就能想象出来。
参考（内附python代码）：
优矿
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