量子运算

量子运算与经典量子力学

首先是量子运算，为了理解量子运算我们从物理的角度来看待这个问题。经过本科的量子力学学习我们都知道任何一个量子态都满足薛定谔方程

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathinner{|{\varphi}\rangle}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\mathinner{|{\varphi}\rangle}+V\mathinner{|{\varphi}\rangle}=H\mathinner{|{\varphi}\rangle}\tag{1}

通过本科知识我们可以知道该方程的含时解为

\mathinner{|{\varphi}\rangle}_t=U(t,t_0)\mathinner{|{\varphi}\rangle}_{t=t_0} \tag{2}

其中 U(t,t_0) 为演化算符，而 \mathinner{|{\varphi}\rangle}_{t=t_0} 是薛定谔方程在 t=t_0 时的定态解。 U(t,t_0) 的形式化表达式如下

U(t,t_0)=\exp{\left[-\frac{i}{\hbar}\int^t_{t_0}dt'H(t') \right]}\tag{3}

这个式子在哈密顿量不含时的时候有简单解，而含时则需要用戴森(dyson)级数表示，这里不作详细展开。

我们可以发现演化算符是一个非常明显的酉算子，即满足 U^{\dagger}U=I 的算子，因此我们可以得到一个结论，由薛定谔方程解出的量子态在大自然中演化，其演化算符必定是酉算子。这个结论非常显然而且大家都非常容易接受，然而我们考虑一个很特殊的演化——测量。
我们都知道测量假设是量子力学五大假设中的一个，然而我们发现测量作为演化有其特殊性，测量所对应的算子是投影算子，而投影算子并不是酉的，并且由投影算子集合{ P_i }和量子态 \mathinner{|{\varphi}\rangle} 构造出的测量演化算子也不是酉的，如下

Q_{\varphi,i}=\frac{P_i}{\sqrt{\mathinner{\langle{\varphi|P_i|\varphi}\rangle}}}\tag{4}

系数是归一化条件所确定的，我们可以由投影算子的非酉性很快发现这个构造出的测量演化算子的非酉性。

到这里我们不得不提出一个疑问，难道测量是不符合大自然演化的吗？
答案当然是否定的，原因在于一个很有意思的事实——因为在测量的过程中，我们会不可避免的导致我们的量子系统和环境产生\破坏纠缠，因此当我们在对我们的量子系统进行测量时，我们实际上是在测量一个更大的量子系统经过演化后的一部分。 换句话说，这整个纠缠起来的大系统的演化是酉的，而我们只研究了这个大系统的一小部分的演化，而只看这个小系统的演化，它的演化算子是非酉的。
用数学语言描述的话，是这样的

U(\mathinner{|{ \varphi }\rangle}\otimes\mathinner{|{ \varphi_{env }\rangle}})=(Q_1\mathinner{|{ \varphi }\rangle})\otimes (Q_2\mathinner{|{ \varphi_{env }\rangle}}) \tag{5}

这其中， U 是对应于更大空间的一个算子，而 Q_1,Q_2 是对应于两个子系统的算子。我们可以很明显的看到，即使 U 是酉的， Q_1,Q_2 也不必是酉的，这个可以通过构造一组非酉的 Q_1,Q_2 很方便的证明。

由此我们可以得到一个很有意思的结论，对于完整的量子系统，其演化算子必定是酉的，而若我们的量子系统属于一个更大量子系统的一部分，则这个系统的演化算子则不必是酉的。
由这个结论，我们发现，当我们考虑环境对量子系统的作用时，我们原先的薛定谔方程以及使用酉算子来描述演化的数学模型已经完全不起作用了，而当我们要研究量子纠错时，将会不可避免的遇到环境对量子系统的作用的情况。为了解决这个问题，我们必须使用一套新的数学模型即描述方式，即——量子运算。

量子运算的形式化

注：因为我们在实际情况下碰到的不一定都是纯态，所以从这里开始我们使用密度算子来代替量子态来进行说明。 我们将会用到一个名为偏迹的数学工具，偏迹是描述只对量子系统中的某个子系统进行观测时的数学工具，为了说明偏迹的作用我会再单独写一篇文章，这里先当成一个普通的工具来使用。

量子运算是比我们使用的算子描述更广泛的一类刻画量子态在客观世界演化的数学工具，我们可以将量子运算看作是一个简单的映射，代表一个密度算子经过某些变换后得到了另一个密度算子，即

\varepsilon(\rho)=\rho'\tag{6}

类比式(5)，我们可以写成以密度算子和偏迹来表示的形式

\varepsilon(\rho)=tr_{env}\left[U(\rho\otimes\rho_{env})U^{\dagger} \right]\tag{7}

这个式子的含义就是在对整个量子系统演化之后，我们去除掉环境的部分只看我们关心的量子系统的变化。
这个形式中存在着一个几乎完全无法确定的环境 \rho_{env} ，在我们无法了解整个量子系统的密度算子 \rho\otimes\rho_{env} 时，我们不可能给出这个映射的具体形式，这给我们计算带来了巨大的不便，为了得到一个更明确的表达式，我们可以将这个式子改写成更容易看懂的形式。

假设环境的密度算子是混合态( \mathinner{|{ e_i }\rangle} 为一组下标为 i 的环境系统的标准正交基)

\rho_{env}=\sum\limits_{i}p_i\mathinner{|{ e_i }\rangle}\mathinner{\langle{e_i}|}\tag{8}

原式变为

\varepsilon(\rho)=\sum\limits_k\mathinner{\langle{e_k}|}U\left[\rho\otimes\sum\limits_{i}p_i\mathinner{|{ e_i }\rangle}\mathinner{\langle{e_i}|} \right]U^{\dagger}\mathinner{|{ e_k }\rangle}\tag{9}

我们可以写成以下形式

\varepsilon(\rho)=\sum\limits_kE_k\rho E_k^{\dagger}\tag{10}

其中

E_k=\sum\limits_ip_i\mathinner{\langle{e_k}|}U\mathinner{|{ e_i }\rangle}\tag{11}

注意，式(11) 的内积得到的是一个算子，因为 U 是更大系统的一个算子，而 \mathinner{|{ e_i }\rangle} 是这个系统的子系统中的一组基，所以作内积得到的是一个算子 E_k 。为了表示的更清楚，我们设除去这个环境系统外在我们研究的量子系统中还有一组标准正交基 \mathinner{|{ e'_i }\rangle} 。式(11) 可以将算子 E_k 在 \mathinner{|{ e'_i }\rangle} 下表示的矩阵元写成以下形式(这里我将(11)中的 i 替换为了 s )。

E_{kij}=\sum\limits_sp_s\mathinner{\langle{e'_i}|}\mathinner{\langle{e_k}|}U\mathinner{|{ e_s }\rangle}\mathinner{|{ e'_j }\rangle}\tag{12}

我们把式(10) 称为量子运算的算子和表示，而 E_k 称为为量子运算 \varepsilon 的运算元。

可以很简单的发现，作为物理上的要求，我们有

\begin{aligned} 1=tr(\rho')&=tr(\varepsilon(\rho))\\ &=tr\left(\sum\limits_k E_k\rho E_k^{\dagger}\right)\\ &=tr\left(\sum\limits_k E_k^{\dagger}E_k\rho \right)\\ \end{aligned}\tag{13}

这个条件对 \forall\rho 都是成立的，因此给出了完备性条件

\sum\limits_k E_k^{\dagger}E_k=I\tag{14}

这个条件确定了我们的量子运算对于任意密度矩阵，演化出的必定是新的密度矩阵，并且迹不变，因而这类量子运算被我们称为保迹量子运算。

由于式(10) 表示的一般性，也存在不满足完备性关系的量子运算，这种时候我们将其称为非保迹量子运算，非保迹的量子计算对应于仅在演化中通过特定测量得到某些特殊信息的情况。由于非保迹量子运算可以通过扩张运算元集合构造出保迹量子运算，并且会影响理解，所以我们后面只会研究保迹量子计算。

很明显，我们可以发现在最初由酉算子 U 描述的演化是很明显的保迹量子运算，并且只有一个运算元 \varepsilon(\rho)=U\rho U^{\dagger} ，也满足完备性关系，因此可以发现量子运算是比算子更强大的描述量子态演化的工具。

量子运算的公理化表示

当然，前面给出的都是从物理上的推导得出的量子运算的形式化表达。在这部分我会给出从公理开始定义量子运算的方式，这些公理都是物理上的要求所得出的，并且这些公理推导出的形式化表达也和我们所使用的算子和表达式(10) 是完全等价的。 保迹量子运算 \varepsilon 作为映射，应该拥有以下三条性质

• A1. tr(\varepsilon(\rho))=1
  
• A2. 映射 \varepsilon 是凸线性映射，即
  

\varepsilon\left(\sum\limits_ip_i\rho_i \right)=\sum\limits_i p_i\varepsilon(\rho_i) \tag{15}

• A3. 在原本的量子系统 Q 上，对任意的附加系统 Q\otimes R 和在 R 上的不变量子运算 \zeta(\rho)=\rho ，量子运算 \varepsilon\otimes\zeta 都满足正定性。即

(\varepsilon\otimes\zeta)(\rho_R\otimes\rho_Q)=\rho'\tag{16}

其中满足 \rho' 是半正定矩阵。

这三条性质是三个物理要求所给出的公理化条件，其中A1对应于保迹量子运算的要求。A2对应于因果律，即对于相互之间没有纠缠的混态来说，作用于整体的量子运算等于作用于不同纯态分量的量子运算之和(没有纠缠的子系统之间演化不会互相影响)。A3对应于要求 \varepsilon 是有效且可存在的，因为所有的密度算子都是半正定矩阵。为了确保量子运算有效，无论加上多少不变的附加系统，量子运算 \varepsilon\otimes\zeta 都必须得到一个可能存在的密度算子。

这三条公理和量子运算的算子和表示是完全等价的，具体证明过长就不再赘述(可能会再写一下吧)。最后量子运算的公理化表示也给了我们更大的信心来使用算子和工具来描述量子运算，从这里开始我们可以放心的使用算子和表示来研究量子系统的演化了，这将会给我们后面对量子纠错和量子信道的研究带来非常大的便利。