一个最简单的量子门是「泡利-X门」，简称「X门」，可用如下两种符号表示：

将 X门施加在一个量子比特上，将会交换该量子比特的两个基状态的概率幅：

根据上文内容可知，输入和输出都是 2\times 1 的列向量，因此可将该量子门的行为用变换矩阵的形式表示如下：
\text{X}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\beta\\\alpha\end{pmatrix} ，
其中 \text{X}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} ，即 X门的矩阵形式。

相对于数字电路，X门的行为类似于非门，有如下性质：
\text{X}\left|0\right\rangle=\left|1\right\rangle ， \text{X}\left|1\right\rangle=\left|0\right\rangle ， \text{X}\left|+\right\rangle=\left|+\right\rangle ， \text{X}\left|-\right\rangle=-\left|-\right\rangle 。

如果 n 个量子比特 \left|\psi_n\dots\psi_1\right\rangle=\left|\psi_n\right\rangle\otimes\dots\otimes\left|\psi_1\right\rangle 分别同时通过 X门：

则可用 X门变换矩阵的张量积来表示整个系统的变换：
\text{X}^{\otimes n}\left|\psi_n\dots\psi_1\right\rangle=\text{X}\left|\psi_1\right\rangle\otimes\dots\otimes\text{X}\left|\psi_n\right\rangle ，
这一步的证明留作练习，请读者自己完成。

下表列出了常见量子门的名称、符号和变换矩阵：

该表中有几个门非常重要，而且和后面要讲的算法相关，下面单独介绍。

最重要的门莫过于 Hadamard 门了，简称「H门」。为了理解它的作用，我们需要引入 「Bloch 球」^[1]。但为了避免涉及过多数学，我们将量子态的概率幅限定在实数域，这样就可以把 Bloch 球简化为一个以 X-Z 坐标系原点为圆心的单位圆，我们把它称为「Bloch 圆」（注意，该坐标系的横轴为 X 轴，纵轴为 Z 轴，消失的 Y 轴为 Bloch 球中的虚轴）。然后任意一个单量子比特的量子态 \alpha\left|0\right\rangle+\beta\left|1\right\rangle 都可以映射到圆上一点 P\left(\sin\frac{\theta}{2},\cos\frac{\theta}{2}\right) ，如下图所示：

其中 \theta 为点向量与 Z 轴的夹角，\alpha=\cos\frac{\theta}{2},\ \beta=\sin\frac{\theta}{2} 。下面列出一些常见的状态在该圆上映射的点：
\left|0\right\rangle:P\left(0,1\right) ， \left|1\right\rangle:P\left(0,-1\right) ， \left|+\right\rangle:P\left(1,0\right) ， \left|-\right\rangle:P\left(-1,0\right) ，
这几个映射关系请读者自己练习验证。

对于任意量子态 \left|\psi\right\rangle=\alpha\left|0\right\rangle+\beta\left|1\right\rangle ，H 门的行为可用变换矩阵的形式表示为：
\text{H}\left|\psi\right\rangle=\text{H}\left(\alpha\left|0\right\rangle+\beta\left|1\right\rangle\right)=\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle ，
将 \alpha=\cos\frac{\theta}{2},\ \beta=\sin\frac{\theta}{2} 代入上式，并由基本三角公式可得：
\left|\psi'\right\rangle=\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle=\cos\frac{\pi/2-\theta}{2}\left|0\right\rangle+\sin\frac{\pi/2-\theta}{2}\left|1\right\rangle

注意到 \left|\psi'\right\rangle=\text{H}\left|\psi\right\rangle ，\theta\Rightarrow \pi/2-\theta ，即以 Bloch 圆来表示量子比特，H门会使原先的量子态的 X 轴和 Z 轴发生互换。例如： \text{H}\left|0\right\rangle=\left|+\right\rangle ， \text{H}\left|1\right\rangle=\left|-\right\rangle 。前面介绍的 X门是沿 X轴作轴对称翻转，例如： \text{X}\left|0\right\rangle=\left|1\right\rangle ， \text{X}\left|1\right\rangle=\left|0\right\rangle ；Z门是沿 Z 轴作轴对称翻转，例如： \text{Z}\left|+\right\rangle=\left|-\right\rangle ， \text{Z}\left|-\right\rangle=\left|+\right\rangle 。

当 n 个量子比特同时经过 H门时，和 X门的情况一样，也是将 n 个 X门的变换矩阵作张量积。以 n=2 为例，设 \left|\psi_0\right\rangle=\alpha_0\left|0\right\rangle+\beta_0\left|1\right\rangle ， \left|\psi_1\right\rangle=\alpha_1\left|0\right\rangle+\beta_1\left|1\right\rangle ，同时分别经过两个 H门：

对于整个系统而言，初始量子态为：\left|\phi\right\rangle=\left|\phi_1\phi_0\right\rangle=\left|\phi_1\right\rangle\otimes\left|\phi_0\right\rangle
=\alpha_1\alpha_0\left|00\right\rangle+\alpha_1\beta_0\left|01\right\rangle+\beta_1\alpha_0\left|10\right\rangle+\beta_1\beta_0\left|11\right\rangle 。

整个系统的变换过程用矩阵形式表示为：
\left(\text{H}\otimes\text{H}\right)\left|\phi\right\rangle=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1\alpha_0\\\alpha_1\beta_0\\\beta_1\alpha_0\\\beta_1\beta_0\end{pmatrix}

最终结果较长，此处不便展开，请读者自己练习。综上可知，H门的一个主要功能就是由计算基态产生叠加态。

表中另一个重要的门是 CNOT门，或称为「受控非门」。它的输入是两个量子比特，一个是控制比特，一个是受控比特。其行为也很好理解：如果控制比特的量子态为 \left|1\right\rangle ，它就会翻转受控比特，否则会保持受控比特不变。因此 CNOT门的变换矩阵也有如下两种形式：

控制比特为\left|1\right\rangle时为 \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix} ，否则为 \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} ，控制比特在前，受控比特在后。注意 CNOT门对控制比特不进行任何变换操作。

CNOT门的神奇之处在于它的条件性，如果控制比特处于叠加态时，控制比特和受控比特之间就会发生量子纠缠。这是由于受控比特的概率幅取决于控制比特的取值，而控制比特的取值具有随机性所致。例如下面的量子电路：

输出的量子态只有两种可能性： \left|00\right\rangle 或 \left|11\right\rangle ，概率均为1/2。其密度算符为：
\rho=\frac{1}{2}\left|00\right\rangle\left\langle 00\right|+\frac{1}{2}\left|11\right\rangle\left\langle 11\right|=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}

因为 \text{tr}\left(\rho\right)=1 而 \text{tr}\left(\rho^2\right)=\frac{1}{2} ，所以输出的量子态为混合态，向量表示为：
\left|\phi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|00\right\rangle+\left|11\right\rangle\right)

如果对处于纠缠态的多个量子比特中的任何一个施加操作，都相当于将该操作施加在了所有量子比特上。例如对 \left|\phi\right\rangle 的高位施加 X门，变换过程如下：
\left(\text{X}\otimes I\right)\left|\phi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle+\left|10\right\rangle\right)

对 CNOT门的控制比特进行扩展，可以实现有多个控制比特的 CNOT门，其行为是：只有当所有控制比特的量子态均为 \left|1\right\rangle 时才进行翻转操作。特别的，有两个控制比特的称为「CCNOT门」或「Toffoli门」。

还有一种「反受控非门」，这个在表中没有画出，其符号如下：

故名思义，它的行为和受控非门正好相反，当控制比特为 \left|0\right\rangle 时会翻转受控比特。当然，反受控非门也可以有多个控制比特，并且可以和受控门进行组合。这种组合控制门的行为就是：当所有控制位的条件全部满足时激活受控的门操作，否则受控门直通。例如以下组合控制Z门：

仅当低位的5个量子比特的状态为 \left|00110\right\rangle 时，最高位才会被施加 Z轴翻转操作，否则维持不变。

练习（建议在搞懂之前不要继续阅读下一章）

1. 证明： \text{X}^{\otimes n}\left|\psi_n\dots\psi_1\right\rangle=\text{X}\left|\psi_1\right\rangle\otimes\dots\otimes\text{X}\left|\psi_n\right\rangle 。
2. 验证如下量子态到Block圆上点的映射关系： \left|0\right\rangle:P\left(0,1\right) ， \left|1\right\rangle:P\left(0,-1\right) ， \left|+\right\rangle:P\left(1,0\right) ， \left|-\right\rangle:P\left(-1,0\right)
3. 验证： \text{H}\left|+\right\rangle=\left|0\right\rangle ， \text{H}\left|-\right\rangle=\left|1\right\rangle 。
4. 试求出两个量子比特分别同时经过 H门后的结果。
5. 写出受控 Z门的矩阵形式。

到目前为止，Grover 算法所用到的量子门都已经介绍过了，接下来我们就开始进入算法部分。

参考

1. ^Bloch spherehttps://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere