（欢迎关注我的公众号：Neuro科学和人工智能）

上一节提到了离子通道的原理：

这一节讨论Hodgekin和Huxley基于他们发现的离子通道的特性发展出的数学模型：Hodgekin-Huxley模型。

k个独立事件影响的通道打开的概率Pk可以用下式表示：

n的值在0到1之间，叫做门控或激活变量，描述由电压和时间决定电导的关系，我们可以认为n表示为通道中一个子通道打开的概率，而1-n则是子通道关闭的概率。虽然k为4符合延迟整流钾通道的四个子单元结构，但实际上Hodgekin和Huxley在选择k=4的时候还并不知道通道的实际结构，更多的是从经验数据建议k取4的。我们将每一个子通道从关到开的电压激活速率用αn(V)表示，而从开到关的电压速率则用βn(V)表示，而一个子通道在一个短的时间间隔内打开的概率是正比于子通道原本是关闭的概率，也就是1-n乘以αn(V)的，同样，子通道关闭的概率则正比于子通道原来是打开的概率，也就是n乘以βn(V)，这样，子通道开放概率的变化就可以用下式表示：

式中右侧第一部分描述子通道的开放过程，而第二部分则描述子通道的关闭过程，因此在开放概率变化的式子中用减号表示，表示开放概率的降低。两边同时除以αn(V)+βn(V)，得到：

其中，

而

上述式子表示当电压V固定时，n以时间常数τn(V)指数级趋向极限值n∞(V)。

由αn描述的状态转移，可以看做是由热能壁垒限制的有限速率，由于状态转换涉及带电成分穿过膜的门通道，热能壁垒的限度将由膜电位影响。我们用qBα来表示一个有效的电荷穿过电位V，这样需要的能量为qBαV，其中常量Bα反映了需要移动的电荷数量以及移动的距离，而可以提供翻越这个能量壁垒的热量扰动的概率正比于玻尔兹曼量，exp(-qBαV/kBT)，综合以上，可以得到：

Aα是某个常数。对子通道关闭速率βn也可以做类似的处理，对应的常数为Aβ和Bβ。而n∞(V)则是一个sigmoidal函数：

对于电压激活的电导，去极化使n增长趋向于1，而超极化使n收缩趋向于0，因此，我们预期子通道开放率αn应该是V的上升函数（因此Bα<0），而βn应该是V的下降函数（因此Bβ>0），如下图所示：

采用电压钳技术使电极注入电流等于细胞的膜电流，Hodgekin和Huxley通过拟合延迟整流钾通道的子通道打开率数据，得到：

其中，V的单位是mV，αn和βn的单位为1/ms。

对于快速钠通道，通道开放的概率则是用下式表示：

采用前述类似的方法可以得到：

函数m∞(V)和h∞(V)描述了稳态激活和失活水平，而电压激活的时间常数和前述一样。下图将快速钠通道的m、h的图形与延迟整流钾通道的n的图形画在一起做对比：

从中可以看到快速钠通道的特性：先是超极化使神经元膜电位低于它的静息电位，然后才是去极化。超极化提高了失活率h，这个过程可以叫做去失活，第二步，也就是去极化，提升了激活率m，这个过程就是激活过程。只有当m和h都大于0，通道电导才被打开。注意即可以通过降低m也可以通过降低h来降低钠通道电导。降低m叫做去活，而降低h叫做失活。

将以上综合起来，就得到了单室假设下膜电流公式，也就是漏电流加上延迟整流钾电流以及快速钠电流：

这就是单室形式的Hodgekin-Huxley模型。下图是Hodgekin-Huxley模型在单个动作电位下动态变量的时间演化过程：

我们把上面提到的n、m、h等等叫做门控变量，它们是描述不同的离子通道的变量，具有共同的形态：

我们用z来指代通用的门控变量。函数τZ(V)和Z∞(V)是从实验数据得出的经验函数。对某些通道，它们可以被表示为通道开放率和关闭率αZ(V)和βZ(V)：

这里将τZ(V)和Z∞(V)写为膜电位的函数，但是对于钙依赖的电流，这些函数也依赖于胞内钙浓度。我们将αZ(V)、βZ(V)、τZ(V)和Z∞(V)统称为门控函数。

Connor和Stevens提出了一个稍微不同于Hodgekin-Huxley模型的Connor-Stevens模型，其中快速钠通道和延迟整流钾通道具有更快的动力学，因此动作电位也更短。与此同时，Connor-Stevens模型包含一个额外的钾电导，叫做A电流，是瞬间的。Connor-Stevens模型的膜电流方程式为：

其中，gLbar=0.003mS/mm和EL=-17mV是漏电流的最大电导和逆转电位，gNabar=1.2mS/mm，gKbar=0.2mS/mm，gAbar=0.477mS/mm，ENa=55mV，EK=-72mV，EA=-17mV。

发射率从0连续地做为激活电流的函数而上升的神经元叫做I型神经元，而从阈值处不连续地跳升的神经元叫做II型神经元。Hodgekin-Huxley模拟的是II型神经元，而Connor-Stevens模型通过A电流可以模拟I型神经元，而没有A型电流则同样可以模拟II型神经元。

用类似Connor-Stevens模型的方法可以将快速钙电导包含进来，Huguenard和McCormick基于丘脑中继细胞提出了这一模型，在模型中基于快速钙电导的膜电流为：

其中，gCabar=13μS/mm，ECa=120mV。钙进入神经元有包括从钙门控通道到突触电导的长期可塑性等许多二级影响。快速钙电导在很多方面类似一个产生动作电位的快速钠电导的慢速版本。不同于产生一个动作电位，一个快速钙电导产生一个慢一些的快速去极化，有时被称作钙脉冲，这个快速去极化使得神经元发放一个动作电位的爆发，这是骑在慢速钠脉冲之上的钠脉冲，如下图所示：

这是由超极化一段时间后将注入电流设为0带来的去极化激活了快速钙电导引起的爆发，这种从超极化后释放造成的动作电位叫做抑制后反弹，这个名字是由于在自然环境下，超极化是由抑制性突触造成的，而不是注入电流带来的。

（本文来自我的公众号，原文地址：

）

上一篇：

下一篇：

推荐阅读：

计算神经学教材（Theoretical Neuroscience, Computational and Mathematical Modeling of Neural Systems, by Peter Dayan and L. F Abbott）：

（无购买链接）