每日一句

Wisdom is a kind of knowledge. It is knowledge of the nature, career, and consequences of human values. — Sidney Hook

本文大纲如下：

前文我们讨论了量子力学的背景，以及为什么需要量子力学。 本文将注意力转移到量子计算。

量子状态（Quantum States）

状态和系统

自旋的概念来自粒子物理学。它是附着在粒子（例如电子）上的一个内部自由度。直观地说，自旋可以被描绘成一个指向某个方向的小箭头。但这不精确，有时还会产生误导。我们可以把量子自旋从携带它的粒子中分离出来，我们可以抽象出qubit的概念，或量子比特：一个双态的量子系统。 qubit是最简单的量子系统，但它表现出量子力学的所有最基本的特性。它也被用作量子信息的单位，就像我们计算机中的经典信息的经典比特。有些人认为，qubit是量子系统的building blocks。

让我们试着通过探测它来理解qubit。我们来看一个toy实验。一个qubit（自旋）被包含在一个仪器中。该仪器是一个黑盒，仅有一个窗口显示测量的结果。该仪器在空间中有一个方向（由\vartriangle的方向表示）。

该仪器有两种模式:

• \vartriangle 黄色：与qubit分离，没有显示结果。
• \vartriangle 绿色：与qubit互动（进行测量），有显示结果。

我们发现有以下行为。该仪器只有两种可能的结果\sigma=+1和\sigma=-1，qubit是一个双态系统(two-state system)。一次测量之后，在不干扰量子比特的情况下，如果我们再次进行测量，将会得到相同的结果，进而得知一个孤立的qubit没有动态变化，它作为一个量子存储器。这样我们可以确认一个实验的结果（否则我们什么也学不到）。最初的测量使量子比特处于两种状态中的一种。随后的测量确认该状态。把仪器倒过来得到相反的读数\sigma \rightarrow -\sigma,我们猜测\sigma是与空间中的方向感有关的自由度：

\sigma = (\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z) \\

可观测自旋应该是某种定向矢量，我们已经沿着仪器设定的轴线测量了矢量的一个分量。到目前为止，经典物理学和量子物理学之间没有区别。我们能够通过将仪器旋转到X方向来测量\sigma^x。 古典：得到\sigma^x = 0。 量子：得到\sigma^x=±1! 此外，两个结果\sigma^x=+1和\sigma^x=-1是随机出现的!

我们可以重复这个过程：在\sigma^z = +1状态下准备好qubit，沿x轴旋转仪器测量\sigma^x。收集结果并进行统计分析，我们发现p(\sigma^x =+1)=1/2，p(\sigma^x =-1)=1/2。重复测量的平均值为零（我们用〈*〉来表示一个观察物的期望值）

\langle x \rangle=(+1)(1/2)+(-1)(1/2)=0 \\

这与经典的期望值相符。

对\sigma^x的测量使qubit处于\sigma^x=±1的任一状态。现在如果我们再去测量\sigma^z，我们会得到\sigma^z=±1的随机结果，初始的\sigma^z=+1状态已经被\sigma^x的测量所破坏。

如果我们在\sigma^z = +1状态下沿着单位矢量n = (sin\theta，0，cos\theta)的方向测量\sigma。
古典：将得到\sigma=cos\theta。
量子：依旧会随机得到\sigma=±1，但统计数字是有偏差的，这样的平均\langle \sigma \rangle=cos\theta与经典的期望值相符。

甚至更普遍的是，如果我们沿单位矢量m 在\sigma=+1的状态，沿单位矢量n测量\sigma，结果依旧是随机的\sigma=±1，然而均值是 \langle \sigma \rangle＝n-m。 量子系统不是决定性的，实验的结果在统计上是随机的。但如果同一实验重复多次，其期望值可以与经典物理学相符。同时测量可以改变量子状态。

状态和表示

结合前文的Dirac符号体系，我们用ket-vector（或ket）|\psi\rangle来表示一个量子态（quantum state）。可以被看作是一个包含数据的数学对象，这些数据足以描述该状态的所有可测量的属性。

以一个qubit为例，假设我们将仪器沿z轴放置并进行测量。如果结果是\sigma^{z}=+1，我们就说这个qubit已经进入上旋状态，表示为|\uparrow\rangle。如果结果是\sigma^{z}=-1，我们就说该量子比特已经进入下旋状态，表示为|\downarrow\rangle。

一个ket |\psi\rangle可以被表示为一个列向量。如，我们可以选择一组基矢（像一个坐标系），然后写为：

|\uparrow\rangle \bumpeq \left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),|\downarrow\rangle \bumpeq \left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \\

\bumpeq意味着该表示法与基矢有关，如果我们用不同的基矢来看待同一个状态，该表示法可能会改变。量子状态的矢量表示也被称为状态矢量。一个qubit是一个双态系统，它的状态向量有两个分量。每个分量都是一个复数。一个qubit的状态向量|\psi\rangle与描述自旋方向的自旋向量\sigma=\left(\sigma^{x}, \sigma^{y}, \sigma^{z}\right)不同。比如:

\begin{aligned} |\psi\rangle \quad & 表示 \quad & \langle \boldsymbol{\sigma}\rangle \\ \langle\uparrow\rangle \quad &\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) & (0,0,+1)\\ |\downarrow\rangle \quad &\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) & (0,0,-1) \end{aligned}\\

状态向量的分量是复数，而\langle\sigma\rangle的分量是实数。但是，关于\langle\sigma\rangle的信息以隐含的方式完全编码在状态向量|\psi\rangle中。与矢量类似，一个ket |\psi\rangle可以进行以下两种基本数学运算

• 标量乘法：|\psi\rangle \mapsto z|\psi\rangle(z \in \mathbb{C})。如

\begin{aligned} &|A\rangle=z_{1}|\uparrow\rangle \bumpeq z_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} z_{1} \\ 0 \end{array}\right), \\ &|B\rangle=z_{2}|\downarrow\rangle \bumpeq z_{2}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ z_{2} \end{array}\right) . \end{aligned} \\

• 加法: |A\rangle,|B\rangle \mapsto|A\rangle+|B\rangle. 如：

|A\rangle+|B\rangle \bumpeq\left(\begin{array}{c} z_{1} \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ z_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \end{array}\right) . \\

状态乘以复数标量，然后再相加，这种组合操作被称为状态的线性叠加。一个系统的量子态的线性叠加依旧是同一个系统的量子态。如一个一般的量子态：

|\psi\rangle=\psi_{\uparrow}|\uparrow\rangle+\psi_{+}|\downarrow\rangle \bumpeq\left(\begin{array}{l}\psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow}\end{array}\right) \\

状态矢量所处的复数矢量空间被称为希尔伯特空间。它是量子态的空间。qubit有一个二维的希尔伯特空间,所有可能的qubit（自旋）状态都可以表示为一个双分量的复矢量。希尔伯特空间的维度是展开希尔伯特空间的基矢的数量。

因此，一个qubit的量子态完全由两个复数\psi_{\uparrow}和\psi_{\downarrow}描述。给定一个已经准备好的自旋状态为 |\psi\rangle=\psi_{\uparrow}|\uparrow\rangle+\psi_{\downarrow}|\downarrow\rangle, 仪器是沿着z轴放置， \psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\uparrow} \equiv\left|\psi_{\uparrow}\right|^{2} 是自旋将被测量为\sigma^{z}=+1的概率。如果沿z轴测量，它是自旋为上的概率。 同样，\psi_{\downarrow}^{*} \psi_{\downarrow} \equiv\left|\psi_{\downarrow}\right|^{2}是沿z轴测量自旋向下的概率。

因为仪器只有两种结果 \sigma^{z}=\pm 1 ，所以惯例是概率加起来为1。

\left|\psi_{\uparrow}\right|^{2}+\left|\psi_{t}\right|^{2}=1 \\

这就是状态向量的归一化条件。满足这个条件的状态向量被称为归一化，否则我们说它是非归一化的。在大多数情况下，我们处理的是归一化状态，但非归一化状态在量子信息中也很有用。

如果qubit被准备成|\uparrow\rangle状态，在随后对\sigma^{z}的测量中，我们将得到\sigma^{z}=+1，概率为1，\sigma^{2}=-1，概率为0，所以|\uparrow\rangle=\left(\begin{array}{l}1\ 0\end{array}\right)是一个有效选择。对于|\downarrow\rangle也有类似的论证。 那么对于\psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\downarrow} or \psi_{\downarrow}^{*} \psi_{\uparrow}?

• 首先，我们确定那里只剩下一个信息，那就是\psi_{\uparrow}和\psi_{\downarrow}之间的相对相位系数e^{i\varphi}。

\psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\downarrow}=\left|\psi_{\uparrow}\right|\left|\psi_{\downarrow}\right| e^{i \varphi}, \quad \psi_{\downarrow}^{*} \psi_{\uparrow}=\left|\psi_{\uparrow}\right|\left|\psi_{\downarrow}\right| e^{-i \varphi} \\

当自旋不predominantly在|\uparrow\rangle或|\downarrow\rangle（沿z轴）时，振幅\left|\psi_{t}\right|\left|\psi_{t}\right|变得很大，如果测量的话，它可能位于x y平面。相位角\varphi参数化了自旋可能沿着x-y平面的极坐标角度。有关\left\langle\sigma^{x}\right\rangle 和 \left\langle\sigma^{y}\right\rangle 的信息存储在\psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\downarrow} (\psi_{\uparrow} 和 \psi_{\downarrow}的一种内联).

我们已经讨论了\left|\psi_{\uparrow}\right|,\left|\psi_{\downarrow}\right|和\varphi的含义。这只是三个实参数，但状态向量|\psi\rangle有两个复数也就是四个实数部分。

原来是一个整体的相位因子，它可以通过以下方式改变

|\psi\rangle \mapsto e^{i\theta}|\psi\rangle\\。整 体相位是描述中的一个冗余。不应该有与状态的总体相位相关的物理意义（行话：总体相位是一种gauge freedom）。 ### 内积 对于每个ket-向量|\psi\rangle，都有一个对偶向量，称为bra-向量\langle\psi|，在对偶希尔伯特空间。bra-向量可以表示为行向量，是ket向量的共轭转置。 |\psi\rangle=\psi_{\uparrow}|\uparrow\rangle+\psi_{\downarrow}|\downarrow\rangle\bumpeq \left(\begin{array}{l}\psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow}\end{array}\right) \Rightarrow\langle\psi|=\psi_{\uparrow}^{*}\langle\uparrow|+\psi_{\downarrow}^{*}\langle\downarrow|\bumpeq \left(\psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\ddagger}^{*}\right)\\

bra和ket的名字来自bra-ket（或braket）\langle\psi\mid \phi\rangle，它表示两个状态|\psi\rangle和|\phi\rangle的内积。

\langle\psi \mid \phi\rangle=\left(\begin{array}{lll} \psi_{1}^{*} & \psi_{2}^{*} & \ldots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \vdots \end{array}\right)=\psi_{1}^{*} \phi_{1}+\psi_{2}^{*} \phi_{2}+\ldots=\sum_{i} \psi_{i}^{*} \phi_{i} \\

交换bras和kets对应的是复共轭。 \langle\psi\mid \phi\rangle=\langle\phi \mid \psi\rangle^{*}. 同时，一个状态|\psi\rangle是归一化的\Leftrightarrow它与自身的内积是1，\langle\psi\mid \psi\rangle=1。如，归一化条件公式可以写成

\langle\psi \mid \psi\rangle \bumpeq\left(\psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\downarrow}^{*}\right)\left(\begin{array}{l}\psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow}\end{array}\right)=\psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\uparrow}+\psi_{\downarrow}^{*} \psi_{\downarrow}=1 \\

|\uparrow\rangle 和 |\downarrow\rangle 是归一化的，因为\langle\uparrow \mid \uparrow\rangle=\langle\downarrow \mid \downarrow\rangle=1. 两状态 |\psi\rangle 和 |\phi\rangle 是正交的 \Leftrightarrow 如果它们的内积为0 , \langle\psi \mid \phi\rangle=0. 如|\uparrow\rangle 和 |\downarrow\rangle 是正交的, \langle\uparrow \mid \downarrow\rangle=\left(\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)=0, \langle\downarrow \mid \uparrow\rangle=0 tong y同样如此.

|\uparrow\rangle 和 |\downarrow\rangle 是正交的，因为它们是一个qubit的不同状态，即如果自旋向上，它肯定不是向下的，反之亦然。内积允许我们在抽象的层面上进行计算。

\begin{aligned} & \langle\psi \mid \psi\rangle=\left(\psi_{\uparrow}^{*}\left\langle\uparrow\left|+\psi_{\downarrow}^{*}\langle\downarrow|\right)\left(\psi_{\uparrow}|\uparrow\rangle+\psi_{\downarrow}|\downarrow\rangle\right)\right.\right. \\ & =\psi_{i}^{*} \psi_{\uparrow}\langle\uparrow \mid \uparrow\rangle+\psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\downarrow}\langle\uparrow \mid \downarrow\rangle+\psi_{i}^{*} \psi_{\uparrow}\langle\downarrow \mid \uparrow\rangle+\psi_{\downarrow}^{*} \psi_{+}\langle\downarrow \mid \downarrow\rangle \\ & =\psi_{\uparrow}^{*} \psi_{\uparrow}+\psi_{\downarrow}^{*} \psi_{\downarrow}=1 \end{aligned}\\

一个完整的归一化状态|i\rangle集合，这些状态也是相互正交的，并且span希尔伯特空间, 称之为正交基。

\langle i \mid j\rangle=\delta_{i j}= \begin{cases}1 & i=j \\ 0 & i \neq j\end{cases} \\

如：\uparrow\rangle和\downarrow\rangle构成了qubit希尔伯特空间的正交基。希尔伯特空间的维度也就是基态的数量。同时希尔伯特空间中的每个状态|\psi\rangle都可以写成正交基态的线性叠加。

|\psi\rangle=\psi_{1}|1\rangle+\psi_{2}|2\rangle+\ldots=\sum_{i} \psi_{i}|i\rangle \\

叠加系数\psi_{i}是状态向量的分量，可以通过与基态的内积来提取。

\psi_{i}=\langle i \mid \psi\rangle \\

上式可以用更优雅的形式来写，只用bras和kets来表示

|\psi\rangle=\sum_{i}|i\rangle\langle i \mid \psi\rangle \\

通过选择一个明确的矢量表征来明确检查这些声明可能是有帮助的

|1\rangle\bumpeq\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots\end{array}\right),|2\rangle\bumpeq\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots\end{array}\right),|3\rangle\bumpeq\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots\end{array}\right), \ldots \\

但这样的方法是没有必要的。bra-ket符号的强大之处在于，我们不需要明确地与矢量表示一起工作。

沿着其他轴的状态

定义以下qubit状态

• 将仪器沿z轴设置，测量\sigma^{z}

\sigma^{z}= \begin{cases}+1 & |\uparrow\rangle, \\ -1 & |\downarrow\rangle\end{cases} \\

• 将仪器沿x轴设置，测量\sigma^{x}

\sigma^{x}=\left\{\begin{aligned} +1 &|\rightarrow\rangle, \\ -1 &|\leftrightarrow\rangle . \end{aligned}\right. \\

• 将仪器沿y轴设置，测量\sigma^{y}

\sigma^{y}= \begin{cases}+1 & |\otimes\rangle, \\ -1 & |\odot\rangle\end{cases} \\

它们是三组正交基，每一组都可以用另外两个基来表示。让我们在\sigma^{z}基上表示这些状态

\begin{aligned} |\rightarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle\bumpeq\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1\end{array}\right)\\ |\leftarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle\bumpeq\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)\\ |\otimes\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle\bumpeq\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\ i\end{array}\right)\\ |\odot\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle-\frac{i}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle\bumpeq\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\ -i\end{array}\right) \end{aligned}\\

矢量表示法不是唯一的。

小结

在这个框架中，可以理解许多关于qubit的toy实验: 当我们测量\sigma^{2}并得到\sigma^{z}=+1时，我们已经在|\uparrow\rangle状态下准备好了qubit。随后的测量将确认\sigma^{2}=+1的概率为1。当仪器被颠倒过来时，相对于仪器来说，qubit的状态旋转了|\uparrow\rangle \rightarrow |\downarrow\rangle, |\downarrow \rangle \rightarrow -|\uparrow\rangle。 所以测量结果是\sigma=-1，概率为1。

当仪器沿x轴设置时，我们可以用

\uparrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\rightarrow\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|\leftarrow\rangle \\

来解释，我们将以相同的概率测量\sigma^{x}=+1或\sigma^{x}=-1（两种概率都是=1 / 2）。在测量\sigma^{x}之后，假设我们得到\sigma^{x}=-1，量子态坍缩为|\leftarrow\rangle，那么在随后测量\sigma^{2}时，我们用

|\leftarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle \\

来解释，我们得到\sigma^{z}=+1或\sigma^{z}=-1，概率相同。

什么是量子态坍缩？它是如何发生的？这依旧是一个处于研究前沿的开放性问题。我们目前知道的是测量是qubit和仪器之间的一种互动。这种相互作用将量子比特和仪器纠缠在一起，关于原始qubit的量子信息会传播到仪器上，并可能进一步传播到其嵌入环境中。

量子算子

公理1（States）。量子系统的状态被描述为相关希尔伯特空间中的矢量。

公理2（Observables）。量子系统的物理观测点是由作用于相关希尔伯特空间的Hermitian算子描述的。

观测物是我们可以测量的东西。算子是我们应用于一个状态以 "修改 "该状态的东西。让我们先了解一下算子是如何工作的？ 一个操作符M（就像一台 "机器"）接收一个状态|\psi\rangle并返回另一个状|\phi\rangle：

M|\psi\rangle=|\phi\rangle \\

如果一个算子保留了状态的线性，，就可以说是线性的, 即$$M(z_1}\psi\rangle+z_{2|\phi\rangle)=z_1} M\psi\rangle+z_{2 M|\phi\rangle$$

一般来说，线性算子可以写成基算子|i\rangle\langle j\rangle的线性叠加，可以用矩阵表示

M=\sum_{i j}|i\rangle M_{i j}\langle j|\bumpeq\left(\begin{array}{ccc} M_{11} & M_{12} & \cdots \\ M_{21} & M_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right) \\

每个矩阵元素M_{i j}都是一个复数. 以一个qubit为例，有四个基础算子 |i\rangle\langle j|:

|\uparrow\rangle\langle\uparrow|=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)

|\uparrow\rangle\langle\downarrow|=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right),

|\downarrow\rangle\langle\uparrow|=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right),

|\downarrow\rangle\langle\downarrow|=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)

每个基础算子都实现了一个 "基本操作"，例如|\downarrow\rangle\langle\uparrow|取上旋状态|\uparrow\rangle并返回下旋状态|\downarrow\rangle。任何一个量子比特的线性算子都是这四个基算子的叠加。

\begin{aligned} &M=M_{\uparrow \uparrow}|\uparrow\rangle\left\langle\uparrow\left|+M_{\uparrow \downarrow}\right| \uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\left|+M_{\downarrow \uparrow}\right| \downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\left|+M_{\downarrow \downarrow}\right| \downarrow\right\rangle\langle\downarrow| \\ &\bumpeq\left(\begin{array}{ll} M_{\uparrow \uparrow} & M_{\uparrow \downarrow} \\ M_{\downarrow \uparrow} & M_{\downarrow \downarrow} \end{array}\right) \end{aligned} \\

对一个状态应用一个算子就是将一个矩阵乘以一个矢量。考虑一下状态的矢量表示

\begin{gathered} |\psi\rangle=\sum_{i} \psi_{i}|i\rangle=\left(\begin{array}{c} \psi_{1} \\ \psi_{2} \\ \vdots \end{array}\right), \\ |\phi\rangle=\sum_{i} \phi_{i}|i\rangle=\left(\begin{array}{c} \phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \vdots \end{array}\right), \end{gathered} \\

也就是：

\begin{aligned} &M|\psi\rangle=\sum_{i j}|i\rangle M_{i j}\langle j|\sum_{k} \psi_{k}| k\rangle \\ &=\sum_{i j} M_{i j} \psi_{j}|i\rangle \\ &|\phi\rangle=\sum_{i} \phi_{i}|i\rangle \end{aligned} \\

这将与以下情况相匹配：

\begin{aligned} &\phi_{i}=\sum_{j} M_{i j} \psi_{j,} \\ &\left(\begin{array}{c} \phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \vdots \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} M_{11} & M_{12} & \cdots \\ M_{21} & M_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \psi_{1} \\ \psi_{2} \\ \vdots \end{array}\right) \end{aligned} \\

根据张量 contractions的图解表示法，每个对象都是一个张量（多维数组）。向量是秩-1张量，由下图对象表示

矩阵是秩为2的张量，由下图对象表示

那么矩阵-向量的乘法可以表示为张量 contraction。

在一组正交基上，运算符M的矩阵元素可以通过以下方式提取

M = \sum_{ij}| i \rangle \langle i| M |j\rangle\langle j| \\

鉴于\sum_{i}|i\rangle\langle i|=1是一个单位算子。这个技巧常用于寻找状态和算子的表示。 运算符的组合就是一个运算紧接着另一个运算（从右到左）。

\begin{aligned} &L\quad M=\sum_{i j}|i\rangle L_{i j}\langle j|\sum_{k l}| k\rangle M_{k l}\langle l| \\ &=\sum_{i j}|i\rangle(\sum_{k} L_{i k} M_{k j})\langle j| \end{aligned} \\

换句话说，组合两个算子就是两个矩阵相乘

Hermitian 共轭

我们已经谈到了一个算子是如何作用于一个kat-向量|\psi\rangle的，那么它是如何作用于bra-向量\langle\psi|？

\begin{array}{ccc}\text { 希尔伯特空间 } & \Rightarrow & \text { 对偶希尔伯特空间 } \\ \text { ket-状态 }|\psi\rangle & \Rightarrow & \text { bra-状态 }\langle\psi| \\ \text { 算子 } M & \Rightarrow & \text { Hermitian 共轭算子 } M^{\dagger}\end{array}

如果 M|\psi\rangle=|\phi\rangle ，那么 \langle\psi| M^{\dagger}=\langle\phi| (M^{+}是M 的对偶 /共轭 ).

这相当于将张量翻转过来。

\begin{aligned} &|\psi\rangle=\sum_{i} \psi_{i}|i\rangle=\left(\begin{array}{c} \psi_{1} \\ \psi_{2} \\ \vdots \end{array}\right) \\ &\Rightarrow\langle\psi|=\sum_{i}\langle i| \psi_{i}^{*}=\left(\begin{array}{lll} \psi_{1}^{*} & \psi_{2}^{*} & \cdots \end{array}\right), \end{aligned} \\

获取 \langle\psi| M^{\dagger}=\langle\phi|是通过定义

\begin{aligned} &M=\sum_{i j}|i\rangle M_{i j}\langle j|=\left(\begin{array}{ccc} M_{11} & M_{12} & \ldots \\ M_{21} & M_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right) \\ &\Rightarrow M^{\dagger}=\sum_{i j}|i\rangle M_{j i}^{*}\langle j|=\left(\begin{array}{ccc} M_{11} & M_{21} & \ldots \\ M_{12} & M_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right), \end{aligned} \\

因此有

\langle\psi| M^{\dagger}=\sum_{i}\langle i|\psi_{i}^{*} \sum_{j k}| j\rangle M_{k j}^{*}\langle k| =\sum_{k} \phi_{k}^{*}\langle k|=\langle\phi|\\

在矩阵表示方面，Hermitian 共轭的作用是矩阵转置（交换行和列）,然后再对每个矩阵元素进行复共轭。Hermitian 共轭 是复共轭的概括。Hermitian共轭具有以下特性：

• 对偶性：假设A是一个算子

\left(A^{\dagger}\right)^{\dagger}=A \\

• 线性: 假设A和B是算子，a和b是复数。

(a A+b B)^{\dagger}=a^{*} A^{\dagger}+b^{*} B^{\dagger} . \\

• 因子反转：假设A和B是算子

(A B)^{\dagger}=B^{\dagger} A^{\dagger} . \\

Hermitian 算子

实数在物理学中起着特殊的作用。任何测量的结果都是实数。如果在量子力学中，物理观测数据是由算子表示的，那么我们如何对算子施加 "真实 "条件？一个实数是一个数字，它的复数共轭就是它本身。同时一个实运算符的Hermitian运算符是一个线性运算符，其Hermitian共轭是它本身。如，如果L=\Sigma_{i j}|i\rangle L_{i j}\langle j|是Hermitian，那么 L=L^{\dagger}。 或者用矩阵元素来表示。

L_{i j}=L_{j i i^{*}} \\

给定复数z，实部：\operatorname{Re} z=\left(z+z^{*}\right) / 2，虚部：\operatorname{Im} z=\left(z-z^{*}\right) /(2 i)。类似地，给定一个线性算子M

\operatorname{Re} M=\frac{1}{2}\left(M+M^{+}\right), \operatorname{Im} M=\frac{1}{2 i}\left(M-M^{+}\right) \\

\operatorname{Re} M和\operatorname{Im} M都是Hermitian算子。

特征值和特征向量

一般来说，一个线性算子作用于一个状态会改变这个状态。但是对于一个固定的线性算子M来说，可以有一些特殊的状态|\mu\rangle在操作下保持不变。M对这些状态的唯一影响是用一个总体因子\mu来重新调整它们的尺度。

M|\mu\rangle=\mu|\mu\rangle \text {. } \\

\mu (ket外)是一个数字，表明在M的作用下，该向量被重新缩放的程度。这个数字是算子的一个特征值。|\mu\rangle是一个特征向量，与它的特征值\mu有关。 给定一个算子的矩阵表示，它的特征值和特征向量可以通过Mathematica求解特征方程来找到。 特征系统 [\{\{0,-1\},\{1,0\}\}] \{\{i,-i\},\{\{i, 1\},\{-1,1\}\}\}

对于bra 向量

M|\mu\rangle=\mu|\mu\rangle \Rightarrow\langle\mu| M^{\dagger}=\langle\mu| \mu^{*} \\

Hermitian算子的特征值是实数。Hermitian算子的特征向量为一套完整基矢。(任何矢量都可以扩展为这些特征向量之和）。如果\lambda_{1} \neq \lambda_2是Hermitian算子的两个不相等的特征值，那么它们相应的特征向量\left|\lambda_{1}\right\rangle和\left|\lambda_{2}\right\rangle是正交的。相同特征值的特征向量可以成为正交的（通过正交化，例如Gram-Schmidt程序）。对于有界的Hermitian算子（如有限维度希尔伯特空间中的有限矩阵），特征向量可以被规范化。总之，每个Hermitian算子都会为希尔伯特空间生成一组完整正交基。这组基也被称为Hermitian算子的特征基。

假设 L 是 Hermitian算子 \left(L=L^{\dagger}\right) 并且

L\left|\lambda_{1}\right\rangle=\lambda_{1}\left|\lambda_{1}\right\rangle

L\left|\lambda_{2}\right\rangle=\lambda_{2}\left|\lambda_{2}\right\rangle

我们可以翻转第一个矩阵 \left\langle\lambda_{1}\right| L^{\dagger}=\left\langle\lambda_{1}\right| L=\left\langle\lambda_{1}\right| \lambda_{1}^{*},

\left\langle\lambda_{1}|L| \lambda_{2}\right\rangle=\lambda_{1}^{*}\left\langle\lambda_{1} \mid \lambda_{2}\right\rangle \\\left\langle\lambda_{1}|L| \lambda_{2}\right\rangle=\lambda_{2}\left\langle\lambda_{1} \mid \lambda_{2}\right\rangle . \\

如果\left|\lambda_{1}\right\rangle=\left|\lambda_{2}\right\rangle 上式意味着 \langle\lambda|L| \lambda\rangle=\lambda^{*}\langle\lambda \mid \lambda\rangle=\lambda\langle\lambda \mid \lambda\rangle, . 如果\left|\lambda_{1}\right\rangle 和 \left|\lambda_{2}\right\rangle 是不同的状态,对于不等的特征向量\lambda_{1} \neq \lambda_{2}, 前式意味着\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left\langle\lambda_{1} \mid \lambda_{2}\right\rangle=0, so \left\langle\lambda_{1} \mid \lambda_{2}\right\rangle=0.但是它们的特征向量 \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda 碰巧是相同, \left|\lambda_{1}\right\rangle 和 \left|\lambda_{2}\right\rangle 是退化的。退化的状态span的子空间，称为退化子空间。退化子空间中的任何状态 |\lambda\rangle=z_{1}\left|\lambda_{1}\right\rangle+z_{2}\left|\lambda_{2}\right\rangle 是赫米特算子的一个特征向量，具有相同的特征值\lambda，因为是一个具有相同特征值\lambda的Hermitian算子的特征向量 , 因为

\begin{aligned} & L|\lambda\rangle=z_{1} L\left|\lambda_{1}\right\rangle+z_{2} L\left|\lambda_{2}\right\rangle \\ &=z_{1} \lambda\left|\lambda_{1}\right\rangle+z_{2} \lambda\left|\lambda_{2}\right\rangle \\ &=\lambda\left(z_{1}\left|\lambda_{1}\right\rangle+z_{2}\left|\lambda_{2}\right\rangle\right)\\ &=\lambda|\lambda\rangle \end{aligned}\\

Hermitian 算子在其自身的特征基数中承认以下频谱分解

L=\sum_{i}\left|\lambda_{i}\right\rangle \lambda_{i}\left\langle\lambda_{i}\right| \\

注意：与一般的矩阵表示法L=\sum_{i j}|i\rangle l_{i j}\langle j|不同，在特征基中，求和只在希尔伯特空间的维度上跑一遍。在特征基中，Hermitian算子被表示为一个对角矩阵。因此，通过转换到其特征基将矩阵表示为对角线形式的过程被称为对角线化。

假设我们有一个用Hermitian算子L描述的物理观测物，它有一组特征值和特征向量

L=\sum_{i}\left|\lambda_{i}\right\rangle \lambda_{i}\left\langle\lambda_{i}\right| \\

一个测量的可能结果是特征值\lambda_{i}。(假设它们不是退化的）。测量将量子态投射（坍缩）到与测量结果\lambda_{i}相对应的特征态|\lambda_{i}\rangle。

公理3（Measurement）。给定一个处于|\psi\rangle状态和要测量的可观测物L的量子系统，观察到测量结果\lambda_{i}的概率是p(L=\lambda_{i})=|\langle\lambda_{i} | \psi\rangle|^{2}

没有办法确定哪个结果会被观察到。只有一个概率p(\lambda_{i})。概率是由叠加部分的平方决定的。为什么是平方？概率必须是(i)实数和且为正数，(ii) "规整（gauge）不变量"（即与两个状态的整体相位无关）。随后的测量必须证实这个结果。在初始测量之后，该状态必须被坍缩为特征态|\lambda_{i}\rangle。如果存在一个与特征值\lambda相对应的退化子空间怎么办？

投影算子可以投射到与特征值\lambda相关的L的特征空间上

\begin{aligned} &P(L=\lambda)=\sum_{\lambda_{i}}\left|\lambda_{i}\right\rangle \delta\left(\lambda_{i}-\lambda\right)\left\langle\lambda_{i}\right|, \\ &\delta\left(\lambda_{i}-\lambda\right)= \begin{cases}1 & \lambda_{i}=\lambda, \\ 0 & \lambda_{i} \neq \lambda\end{cases} \end{aligned} \\

观察到测量结果L=\lambda的概率将是

p(L=\lambda)=|\psi \rangle p(L=\lambda))\langle\psi| \\

如果结果\lambda 观测到,状态坍塌至：

|\psi\rangle \stackrel{\text { 测量 } L, \text { 获取 } \lambda}{\longrightarrow} \frac{P(L=\lambda)|\psi\rangle}{\langle\psi|P(L=\lambda)| \psi\rangle^{1 / 2}} \\

观察物的期望值。许多重复实验的平均测量结果（每次都必须准备初始状态）。根据定义和使用 p\left(L=\lambda_{i}\right)=\left|\left\langle\lambda_{i} \mid \psi\right\rangle\right|^{2}有

\langle L\rangle=\sum_{i} \lambda_{i} p\left(L=\lambda_{i}\right)=\sum_{i}\left\langle\psi \mid \lambda_{i}\right\rangle \lambda_{i}\left\langle\lambda_{i} \mid \psi\right\rangle, \\

给定 L=\Sigma_{i}\left|\lambda_{i}\right\rangle \lambda_{i}\left\langle\lambda_{i}\right| 有

\langle L\rangle=\langle\psi|L| \psi\rangle . \\

结果是一个实标量（因为L是Hermitian）。表示为向量和矩阵：

\left(\begin{array}{lll} \psi_{1}^{*} & \psi_{2}^{*} & \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} L_{11} & L_{12} & \cdots \\ L_{21} & L_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \psi_{1} \\ \psi_{2} \\ \vdots \end{array}\right) \text {, } \\

在张量网络中：

单qubit算子

对于一个单量子位（自旋），物理观测变量为 \sigma=\left(\sigma^{x}, \sigma^{y}, \sigma^{z}\right). 每个观测对应于一个作用于二维希尔伯特空间的Hermitian算子。在｜\uparrow\rangle和｜\downarrow\rangle基上，它们的矩阵表示为

\begin{aligned} &\sigma^{x}\bumpeq\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \\ &\sigma^{y} \bumpeq\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right) \\ &\sigma^{z} \bumpeq\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) \end{aligned} \\

这些矩阵被称为Pauli矩阵。它们都是Hermitian矩阵。 \left|\sigma^{x}\bumpeq+1\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right),\left|\sigma^{x}=-1\right\rangle\bumpeq\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) ; \left|\sigma^{y}\bumpeq+1\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\ i\end{array}\right),\left|\sigma^{y}=-1\right\rangle\bumpeq\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\ -i\end{array}\right) ; \left|\sigma^{x}\bumpeq+1\right\rangle=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left|\sigma^{x}=-1\right\rangle\bumpeq\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)

每一组特征向量构成一组完整的、正交的qubit希尔伯特空间的基。它们相应的特征值都是\pm 1：无论我们沿x、y、z方向测量qubit，我们只得到可能的结果\pm 1。

Pauli代数

两个Pauli矩阵相乘：

\sigma^{i} \sigma^{j}=\delta^{i j} \mathbf{1}+i \epsilon^{i j k} \sigma^{k} \\

其中 i, j, k=1,2,3 (代表x, y, z ). 上面公式的向量写法

a \cdot \sigma b \cdot \sigma=a \cdot b 1+i(a \times b) \cdot \sigma \\

其中 \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} 由三部分向量(每一部分是标量). \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{\sigma} 表示

\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{\sigma}=a_{1} \sigma^{1}+a_{2} \sigma^{2}+a_{3} \sigma^{3} . \\

Pauli矩阵的迹

\operatorname{Tr} 1=2, \operatorname{Tr} \sigma^{x}=\operatorname{Tr} \sigma^{y}=\operatorname{Tr} \sigma^{z}=0 \\

结合上述公式有，

\operatorname{Tr}\left(\sigma^{i} \sigma^{j}\right)=2 \delta^{i j} \\\operatorname{Tr}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{\sigma})=0, \\\operatorname{Tr}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{\sigma})=2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \\

单元算子

基变换

我们应该应用什么运算符来将一个基旋转到另一个基？ U=|\uparrow\rangle\langle\rightarrow|+| \downarrow\rangle\langle\leftarrow|

U 将 |\rightarrow\rangle 映射为 |\uparrow\rangle 并 将 |\leftarrow\rangle 映射为 |\downarrow\rangle. 使用矢量表示法：

\begin{aligned} &|\uparrow\rangle=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),|\downarrow\rangle=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right) \\ &|\rightarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right),|\leftarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) \end{aligned} \\

发现

U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right) \\

U 是一个单元算子。它实现了一个基旋转，就像我们把\sigma^{x}重新定义为\sigma^{z}。希尔伯特空间中的每个状态都会相应地旋转。

U\left(z_{1}|\rightarrow\rangle+z_{2}|\leftarrow\rangle\right)=z_{1}|\uparrow\rangle+z_{2}|\downarrow\rangle \\

单元算子是一个线性算子，其Hermitian共轭是它的逆，也就是

U^{\dagger} U=U U^{\dagger}=\mathbb{1} \\

两个运算符是可逆的 \Leftrightarrow 顺序应用它们等同于应用同identity运算符。由U实现的操作被U^{\dagger}的操作所抵消，反之亦然。单元运算符实现了基旋转（映射\left|\lambda_{i}\right\rangle至\left.\left|\mu_{i}\right\rangle\right).

U=\sum_{i}\left|\lambda_{i}\right\rangle\left\langle\mu_{i}\right| \\

如果\left|\lambda_{i}\right\rangle 和 \left|\mu_{i}\right\rangle 是identical, U=\mathbb{1} 变成identity算子。可验证

\begin{aligned} &U^{\dagger} U=\sum_{i}|\mu_{i}\rangle\langle\lambda_{i}|\sum_{j}| \lambda_j\rangle\langle\mu_j| \\ &=\sum_{i j}\left|\mu_{i}\right\rangle\left\langle\lambda_{i} \mid \lambda_{j}\right\rangle\left\langle\mu_{j}\right| \\ &=\sum_{i j}\left|\mu_{i}\right\rangle \delta_{i j}\left\langle\mu_{j}\right| \\ &=\sum_{i}\left|\mu_{i}\right\rangle\left\langle\mu_{i}\right|=1 \end{aligned} \\

和U U^{\dagger}=1的类似。这意味着实际上任何基变换都可以被看作是一个单元算子。将基变换应用于 ket 状态: |\psi\rangle \rightarrow U|\psi\rangle, bra 状态 : \langle\psi| \rightarrow\langle\psi| U^{\dagger}, 算子: L \rightarrow U L U^{+}.

算子是由ket和bra状态组成的，所以必须从两边应用单元算子。观测的期望值在基变换下是不变的。(测量结果应该是与基无关的)。

\langle L\rangle=\langle\psi|L| \psi\rangle \rightarrow\left\langle\psi\left|U^{\dagger} U L U^{\dagger} U\right| \psi\right\rangle=\langle\psi|\mathbb{1} L \mathbf{1}| \psi\rangle=\langle L\rangle . \\

Hermitian 算子的对角化：找到一个单元算子，通过转换到其特征基，使Hermitian算子达到对角形式。 这样，在 L \rightarrow U L U^{\dagger},

\Lambda=U L U^{\dagger}=\sum_{i}|i\rangle \lambda_{i}\langle i|=\left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right) \\

是对角化的。每一个 Hermitian 矩阵可以写为

L=U^{\dagger} \Lambda U, \\

其中\Lambda是对角线，U是单元。

或者说，单元变换U将Hermitian矩阵转换到其对角线形式。

ULU^{\dagger} = \Lambda \\

算子函数

一个算子函数是一个将一个算子（矩阵）映射到一个算子（矩阵）的函数。有两种方法可以将标量函数f(x)提升为算子函数f(M) 。对于一个可对角线化的算子 M=\sum_{i}\left|\mu_{i}\right\rangle \mu_{i}\left\langle\mu_{i}\right| (因为M M^{\dagger}=M^{+} M ), 定义 f(M)=\sum\left|\mu_{i}\right\rangle f\left(\mu_{i}\right)\left\langle\mu_{i}\right| .

如果f(x)接受泰勒扩展 f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\ldots相应的算子函数为

f(M)=f(0)+f^{\prime}(0) M+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} M^{2}+\ldots . \\

算子函数的一个特殊应用是定义算子（矩阵）exponential。如：

e^{i \theta \sigma^{v}}=? \text {, 给定 } \sigma^{y}=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right) \\

方法一：

e^{i \theta \sigma^{y}}=e^{\left(\begin{array}{cc} 0 & \theta \\ -\theta \end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \\

方法二：对角化。转换到\sigma^{y}的特征基，

e^{i \theta \sigma_{y}}=|\otimes\rangle e^{+i \theta}\langle\otimes|+| \odot\rangle e^{-i \theta}\langle\odot|, \\

根据前面公式：

e^{i \theta \sigma^{y}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ i\end{array}\right) e^{+i \theta}\left(\begin{array}{ll}1 & -i\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1 \\ -i\end{array}\right) e^{-i \theta}\left(\begin{array}{ll}1 & i\end{array}\right) \\=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right) \\

方法三：泰勒扩展。 e^{i \theta \sigma^{y}}=1+i \theta \sigma^{y}+\frac{1}{2 !}\left(i \theta \sigma^{y}\right)^{2}+\frac{1}{3 !}\left(i \theta \sigma^{y}\right)^{3}+\frac{1}{4 !}\left(i \theta \sigma^{y}\right)^{4}+\ldots =\left(1-\frac{1}{2 !} \theta^{2}+\frac{1}{4 !} \theta^{4}+\ldots\right) 1+i\left(\theta-\frac{1}{3 !} \theta^{3}+\ldots\right) \sigma^{y} =\cos \theta 1+i \sin \theta \sigma^{y} =\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)

注意(\sigma^y)^2 = 1,那么\theta的偶数次方和奇数次方就可以分别收集在一起，更一般地说。

e^{i \theta \sigma^{y}}=(cos\theta)1 + i(sin\theta)n \sigma \\

其中\theta\in \mathbb{R}为实数，n为三分量单位向量。可以用泰勒扩展技术可注意到(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{sigma})^{2}=(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{n}) \mathbf{1}=\mathbf{1}。

Hermitian生成器

如果Hermitian算子是实数的泛化，那么单元算子就是相位因子的泛化。(u\in \mathbb{C} 和|u|=1) u^{*} u=u u^{*}=|u|^{2}=1.

对于复数，相位因子可以写成u=e^{i\theta}，其中\theta\in \mathbb{R}是一个实相角。类似的想法也适用于单元算子：每个单元算子都可以由一个Hermitian算子生成，其形式为

U = e^{iL} \\

给定一个Hermitian算子L，通过e^{i L}在特征基上有

e^{i L}=\sum_{i}\left|\lambda_{i}\right\rangle e^{i \lambda_{i}}\left\langle\lambda_{i}\right| \\

根据泰勒展式有 e^{i L}=1+i L+\frac{(i L)^{2}}{2 !}+\frac{(i L)^{3}}{3 !}+\ldots

根据定义, 如果 L是Hermitian那么e^{i L}是unitary, 因为

\begin{aligned} &U^{\dagger} U=\left(e^{i L}\right)^{\dagger} e^{i L} \\ &=\sum_{i}\left|\lambda_{i}\right\rangle e^{-i \lambda_{i}}\left(\lambda_{i}\left|\sum_{j}\right| \lambda_{j}\right) e^{i \lambda_{j}}\left\langle\lambda_{j}\right| \\ &=\sum_{i}\left|\lambda_{i}\right\rangle e^{-i \lambda_{i}} e^{i \lambda_{i}}\left\langle\lambda_{i}\right| \\ &=\sum_{i}\left|\lambda_{i}\right\rangle\left\langle\lambda_{i}\right| \\ &=1, \end{aligned} \\

和U U^{\dagger}=\mathbb{1}的情况类似。考虑公式U(\theta)=e^{i\theta\sigma^{y}}。它实现了一个基旋转，\theta是旋转角度:

U(\theta)|\uparrow\rangle=\cos \theta|\uparrow\rangle-\sin \theta|\downarrow\rangle=\left(\begin{array}{c} \cos \theta \\ -\sin \theta \end{array}\right) \\

特殊情况：当\theta=0，U(0)=1时\Rightarrow不进行旋转。 更一般地说，U(\theta)是实现某些\theta角度基旋转的单元算子。当\theta=\Delta \theta较小时，我们可以泰勒展开

U(\Delta \theta)=U(0)+U^{\prime}(0) \Delta \theta+\ldots=1+U^{\prime}(0) \Delta \theta+\ldots \\

其中U^{\prime}(0)是\partial_{\theta} U(\theta)在\theta=0处的到的。U^{\prime}(0)也是一个算子（矩阵），通常表示为U^{\prime}(0)=i L。我们称L为旋转/单元算子的生成器，因为它产生了一个无限小的旋转

U(\Delta \theta)=1+i \Delta \theta L+\ldots \\

U(\Delta \theta) 是 unitary \Rightarrow L 是 Hermitian.

U(\Delta \theta)^{\dagger} U(\Delta \theta)

=\left(1-i \Delta \theta L^{\dagger}+\ldots\right)(1+i \Delta \theta L+\ldots)

=\mathbf{1}+i \Delta \theta\left(L-L^{\dagger}\right)+\ldots=1

大的旋转可以由小的旋转积累的到

U(N \Delta \theta)=U(\Delta \theta)^{N}=(\mathbb{1}+i \Delta \theta L)^{N} \\

因为 \Delta \theta 很小(但 N 可以很大, s.t. \theta=N \Delta \theta 是有限的),

\ln U(N \Delta \theta)=N \ln (1+i \Delta \theta L)=i N \Delta \theta L \\

因此 U(N \Delta \theta)=e^{i N \Delta \theta L}, 我们得到指数形式

Y(\theta) = e^{i\theta L} \\

故，每一个Hermitian算子可以生成一个单元算子。

时间演化是统一的Unitary

统一性：信息永远不会丢失。

• 两个相同、孤立的系统，开始时处于不同的状态\Rightarrow保持不同的状态（在未来和过去）。
• 两个相同、孤立的系统，开始时处于相同的状态，\Rightarrow遵循相同的演变（在未来和过去）。

尽管测量似乎是非决定性的，但量子状态的演化是决定性的：假设你在某一时刻知道状态，那么量子运动方程会告诉你它以后会是什么。

|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(0)\rangle \\

|\psi(0)\rangle是初始状态，|\psi(t)\rangle是时间t的状态。U(t)是时间演化算子，把|\psi(0)\rangle带到|\psi(t)\rangle。下面将表明U(t)应该是单元的。

不同的状态依旧是不同的（不同的状态是指可以通过测量来明确区分的状态，由于它们的结果不同，所以它们实际上是正交的）：

\langle\phi(0) \mid \psi(0)\rangle=0 \Rightarrow\langle\phi(t) \mid \psi(t)\rangle=\left\langle\phi(0)\left|U(t)^{\dagger} U(t)\right| \psi(0)\right\rangle=0 . \\

相同的状态保持一致：

\langle\psi(0) \mid \psi(0)\rangle=1 \Rightarrow\langle\psi(t) \mid \psi(t)\rangle=\left\langle\psi(0)\left|U(t)^{\dagger} U(t)\right| \psi(0)\right\rangle=1 \text {. } \\

概率加起来为1的事实被保留了。将|\psi(0)\rangle和|\phi(0)\rangle视为正态基的成员，那么前面两个公式意味着

\text { 〈i| } U(t)^{\dagger} U(t)|j\rangle=\delta_{i j} \Rightarrow U(t)^{\dagger} U(t)=1 . \\

因此，时间演化算子U(t)是单元的。

哈密顿方程和薛定谔方程

哈密顿方程产生时间演化!作为一个单元算子，时间演化算子也是由一个Hermitian算子产生的，称为哈密尔顿算子。

H=i U^{\prime}(0)=\left.i \partial_{t} U(t)\right|_{t=0} \\

对于小的\Delta t，无限小的演化由以下公式给出

U(\Delta t)=1-i H \Delta t+\ldots, \\

因此，状态演化为

|\psi(\Delta t)\rangle=U(\Delta t)|\psi(0)\rangle=|\psi(0)\rangle-i \Delta t H|\psi(0)\rangle \\

意味着

i \partial_{t}|\psi(0)\rangle=i \frac{|\psi(\Delta t)\rangle-|\psi(0)\rangle}{\Delta t}=H|\psi(0)\rangle . \\

t=0没有什么特殊之处。上式在任何时候都应该成立。

i \partial_{t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle \\

这就是薛定谔方程，量子态的运动方程。哈密顿方程H(t)=i U^{\prime}(t)在一般情况下可以是时间依赖的。但在许多情况下，我们通过假设时间转换对称性，认为H是与时间无关的。普朗克常数为：

\hbar=\frac{h}{2 \pi}=1.0545718(13) \times 10^{-34} \mathrm{Js} . \\

在量子力学中，与哈密顿相关的可观测指标是能量。为了平衡整个薛定谔方程的维度，普朗克常数被插入到公式中:

i \hbar \partial_{t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle \\

为什么 \hbar 这么小? 量子力学的一个自然选择是将单位设定为\hbar=1。这是理论物理学中的一种常见做法。

公理4（Dynamics）: 量子系统状态的时间演化根据时间相关的薛定谔方程, 受系统的哈密尔顿（Hamiltonian）的支配。i \hbar \partial_{t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle\\

如果哈密尔顿H是与时间无关的，我们可以首先找到它的特征值（eigenenergies）和特征向量（energy eigenstates）。

H\left|E_{i}\right\rangle=E_{i}\left|E_{i}\right\rangle . \\

这也被称为时间无关的薛定谔方程。在这种情况下，我们不需要求解微分方程，只需要将一个Hermitian矩阵对角化。每个能量特征态(energy eigenstate)将在时间上通过整体相位的旋转而演变。

\left|E_{i}(t)\right\rangle=e^{-\frac{1}{n}} E_{i} t\left|E_{i}\right\rangle . \\

|E_{i}\rangle 形成了一个完整正交基，称为能量特征基(energy eigenbasis). 验证上式是公理4的解:

i \hbar \partial_{t}\left|E_{i}(t)\right\rangle=i \hbar \partial_{t}\left(e^{-\frac{1}{\hbar} E_{i} t}\left|E_{i}\right\rangle\right)=E_{i}\left|E_{i}(t)\right\rangle \\H\left|E_{i}(t)\right\rangle=e^{-\frac{1}{n} E_{i} t} H\left|E_{i}\right\rangle=E_{i}\left|E_{i}(t)\right\rangle \\

任何初始状态|\psi(0)\rangle都将在时间中演变，首先在能量特征基中代表初始状态，并通过其旋转的整体相位附加到每个能量特征状态。

\begin{aligned} &|\psi(t)\rangle=\sum_{i} e^{-\frac{1}{t} E_{i} t}\left|E_{i}\right\rangle\left\langle E_{i} \mid \psi(0)\right\rangle \\ &=e^{-\frac{t}{\hbar} H t}|\psi(0)\rangle . \end{aligned} \\

一个时间独立的哈密顿量通过矩阵指数化产生时间演化。然而，对于时间依赖的哈密尔顿，没有这样的公式。演化必须一步一步地进行，表示为一个有时间顺序的指数

U(t)=\mathcal{T} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} H\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right) . \\

例子：磁场中的自旋

由于哈密顿必须是Hermitian。对于一个单一的qubit，最一般的哈密顿式的形式是

\begin{aligned} &H=h_{0} \mathbf{1}+h_{x} \sigma^{x}+h_{y} \sigma^{y}+h_{z} \sigma^{z} \\ &=h_{0} \mathbf{1}+\boldsymbol{h} \cdot \boldsymbol{\sigma} \end{aligned} \\

其中h_{0}, h_{x}, h_{y}, h_{z} \in \mathbb{R}中都是实系数。\boldsymbol{h}=\left(h_{x}, h_{y}, h_{z}\right)是一个数的向量，\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma^{x}, \sigma^{y}, \sigma^{z}\right)是一个算子向量。 时间演化算子（在下文中设置为\hbar=1)

\begin{aligned} &U(t)=e^{-i H t} \\ &=e^{-i h_{0} t}(\cos (|\boldsymbol{h}| t) \mathbb{1}-i \sin (|\boldsymbol{h}| t) \hat{\boldsymbol{h}} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \end{aligned} \\

其中 |h|=\sqrt{h \cdot h} 且 \hat{h}=h /|h|.一个状态|\psi(0)\rangle将随着时间的推移而演化，如下所示

\begin{aligned} &|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(0)\rangle \\ &=e^{-i h_{0} t}(\cos (|\boldsymbol{h}| t) \mathbb{1}-\boldsymbol{i} \sin (|\boldsymbol{h}| t) \hat{\boldsymbol{h}} \cdot \boldsymbol{\sigma})|\psi(0)\rangle \end{aligned} \\

如果我们在状态|\psi(t)\rangle上测量\sigma，期望值将由以下公式给出

\begin{aligned} &\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle_{t}=\langle\psi(t)|\boldsymbol{\sigma}| \psi(t)\rangle \\ &=\cos (2|\boldsymbol{h}| t)\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle_{0}+\sin (2|\boldsymbol{h}| t) \hat{\boldsymbol{h}} \times\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle_{0}+(1-\cos (2|\boldsymbol{h}| t)) \hat{h}\left(\hat{\boldsymbol{h}} \cdot\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle_{0}\right) . \end{aligned} \\

这也是随时间演变的。特例：假设\boldsymbol{h}=\left(0,0, h_{z}\right)沿z方向，将自旋向量的期望值参数化为 \langle\sigma\rangle=(\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)

\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle_{t}=\left(\sin \theta_{0} \cos \left(\varphi_{0}+2 h_{z} t\right), \sin \theta_{0} \sin \left(\varphi_{0}+2 h_{z} t\right), \cos \theta_{0}\right), \\

其中\theta_{0}和\varphi_{0}是初始方位角和polar angles。自旋应该围绕磁场的轴线前行，\Rightarrow\boldsymbol{h}具有外部磁场的物理意义。自旋在磁场中的能量是\langle H\rangle=-\boldsymbol{h} \cdot\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle（直到一些恒定的能量转移h_{0}）。

算子代数

交换子

两个算子A 、 B的交换子（Commutator）：

[A, B]=A B-B A \\

交换子是反对称的，[A, B]=-[B, A]。因此，一个算子与自身的交换子总是[A, A]=0。如果交换子[A, B]=0，我们就说这两个算子A和B互换了。

\begin{aligned} &{\left[\sigma^{x}, \sigma^{y}\right]=2 i \sigma^{z}} \\ &{\left[\sigma^{y}, \sigma^{z}\right]=2 i \sigma^{x}} \\ &{\left[\sigma^{z}, \sigma^{x}\right]=2 i \sigma^{y}} \end{aligned} \\

更严谨的说法为

\left[\sigma^{a}, \sigma^{b}\right]=2 i \epsilon^{a b c} \sigma^{c} \\

a，b，c=1，2，3（代表x，y，z ）。这可以被认为是单qubit算子（Pauli矩阵）的定义代数特性。或者更严谨地使用向量的叉积f

\sigma \times \sigma=2 i \sigma . \\

交换子的有用规则

• 双线性

\begin{aligned} &{[A, B+C]=[A, B]+[A, C]} \\ &{[A+B, C]=[A, C]+[B, C]} \end{aligned} \\

• 乘法规则

\begin{aligned} &{[A, B C]=[A, B] C+B[A, C]} \\ &{[A B, C]=[A, C] B+A[B, C]} \end{aligned} \\

• 雅可比特性（作为关联法的替代）

\begin{aligned} &{[A,[B, C]]+[B,[C, A]]+[C,[A, B]]=0} \\ &{[[A, B], C]+[[B, C], A]+[[C, A], B]=0 .} \end{aligned} \\

换算关系

A和B互换：A B=B A（运算符可以像数字一样互相传递）\Rightarrow不管哪个运算符先应用，结果都是一样的。

\mathrm{A} 和 \mathrm{B} 不可互换（改变顺序会导致不同的结果）。但是\mathrm{A}和\mathrm{C}可互换，B和\mathrm{C}可互换（改变顺序并不影响结果）。一个算子总是与它自己可互换。单位算子与任何算子可互换。

对于一个一般的qubit状态 |\psi\rangle=\left(\begin{array}{l}\psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow}\end{array}\right), 有

\begin{aligned} &\sigma^{z} \sigma^{x}|\psi\rangle:\left(\begin{array}{l} \psi_{\dagger} \\ \psi_{\downarrow} \end{array}\right) \stackrel{\sigma^{x}}{\rightarrow}\left(\begin{array}{c} \psi_{\downarrow} \\ \psi_{\uparrow} \end{array}\right) \stackrel{\sigma^{x}}{\rightarrow}\left(\begin{array}{c} \psi_{\downarrow} \\ -\psi_{\dagger} \end{array}\right) \\ &\sigma^{x} \sigma^{z}|\psi\rangle:\left(\begin{array}{l} \psi_{\dagger} \\ \psi_{\downarrow} \end{array}\right) \stackrel{\sigma^{x}}{\rightarrow}\left(\begin{array}{c} \psi_{\uparrow} \\ -\psi_{\downarrow} \end{array}\right) \stackrel{\sigma^{x}}{\rightarrow}\left(\begin{array}{c} -\psi_{\downarrow} \\ \psi_{\uparrow} \end{array}\right) \end{aligned} \\

\sigma^{x}和\sigma^{z}不可互换。事实上，[\sigma^{z}, \sigma^{x}]=2 i \sigma^{y} \neq 0，这可以很容易地从它们的矩阵表示中得到验证

\sigma^{z}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right), \sigma^{x}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) . \\

|\uparrow\rangle和|\downarrow\rangle是\sigma^{z}具有不同的特征值的特征状态。\sigma^{z}以不同方式标记这些状态，\sigma^{x}则混合这些状态。一般来说，"标记者 "和 "混合者 "是不换向的。 对于双Qubit定义\sigma^{a b}=\sigma^{a} \otimes \sigma^{b}, 有. \sigma^{12}=\sigma^{1} \otimes \sigma^{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\ i & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc|cc}0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ \hline 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0\end{array}\right), \sigma^{23}=\sigma^{2} \otimes \sigma^{3}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\ i & 0\end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc|cc}0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ \hline i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0\end{array}\right)

两个矩阵的张量乘法如下所示：

\begin{aligned} &\left(\begin{array}{ll} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{ll} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ll} A_{11}\left(\begin{array}{ll} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{array}\right) & A_{12}\left(\begin{array}{ll} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{array}\right) \\ A_{21}\left(\begin{array}{ll} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{array}\right) & A_{22}\left(\begin{array}{ll} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{array}\right) \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ll|ll} A_{11} B_{11} & A_{11} B_{12} & A_{12} B_{11} & A_{12} B_{12} \\ A_{11} B_{21} & A_{11} B_{22} & A_{12} B_{21} & A_{12} B_{22} \\ \hline A_{21} B_{11} & A_{21} B_{12} & A_{22} B_{11} & A_{22} B_{12} \\ A_{21} B_{21} & A_{21} B_{22} & A_{22} B_{21} & A_{22} B_{22} \end{array}\right) \end{aligned} \\

考虑四维希尔伯特空间的两个 Hermitian 算子 A 、 B :

A=\sigma^{12}, B=\sigma^{23} . \\

s使用矩阵表示可验证\left[\sigma^{12}, \sigma^{23}\right]=0 ，故A 、 B可互换。我们看是否有更好的方式进行此类工作。 转换到A的对角基， 寻找一个单元算子进行对角化 A

U_{1}=e^{\frac{i \pi}{4}} \sigma^{22}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 1 & i & 0 \\ 0 & i & 1 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\

U_{1} 转换 A 、 B z至块对角形式

\begin{aligned} &A \rightarrow A^{\prime}=U_{1} A U_{1}^{\dagger}\bumpeq \sigma^{30}=\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \\ &B \rightarrow B^{\prime}=U_{1} B U_{1}^{\dagger}\bumpeq-\sigma^{01}=\left(\begin{array}{cc|cc} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right) \end{aligned} \\

B^{\prime}没有混合A^{\prime}的不同特征空间，故A^{\prime}、B^{\prime}可互换，也就是A 、B可互换。混合块内（通过B^{\prime} ）不会造成问题，因为A^{\prime}在每个块内看起来都是一个单位矩阵，它可与同一块内的任何矩阵进行换算。

对角线块可以进一步独立对角化（在每个块内）。我们可以把

U_{2}=e^{\frac{i \pi}{4} \sigma^{02}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right), \\

据此

\begin{aligned} &A^{\prime} \rightarrow A^{\prime \prime}=U_{2} A^{\prime} U_{2}^{\dagger} \simeq \sigma^{30} =\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right), \\ & B^{\prime} \rightarrow B^{\prime \prime}=U_{2} B^{\prime} U_{2}^{\dagger} \simeq \sigma^{03}=\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \end{aligned} \\

组合单元变换U=U_{2} U_{1}同时对角化A和B，这样A^{\prime\prime}=U A U^{\dagger}和B^{\prime\prime}=U B U^{\dagger}都是对角化的。

事实上，互换算子总是可以同时对角化的。假设\{A_{1}, A_{2}, \ldots\}是一组互换（Hermitian）算子，即\forall i, j:\left[A_{i}, A_{j}\right]=0，将它们同时对角化的一般算法是首先形成一个随机哈密尔顿

H=\sum_{i} r_{i} A_{i} \\

r_{i}为随机实数。找到一个单元算子U来对角化哈密顿H，同一个单元U将同时对角化所有A_{i}，概率为1。

互换算子可以共享一组共同的特征向量，这些特征向量总是可以通过同时对角化来构建。例如，如果[A, B]=0，存在一组向量|\alpha, \beta\rangle

\begin{aligned} &A|\alpha, \beta\rangle=\alpha|\alpha, \beta\rangle \\ &B|\alpha, \beta\rangle=\beta|\alpha, \beta\rangle \end{aligned} \\

每个特征向量由特征值\alpha和\beta共同标示。对(A, B)的联合测量的可能结果由一对特征值(\alpha, \beta)给出。在一个给定的状态|\psi\rangle上，获得测量结果(\alpha, \beta)的概率为

p(\alpha, \beta)=|\langle\alpha, \beta \mid \psi\rangle|^{2} \\

在测量之后，状态被投射到与测量结果(\alpha, \beta)相对应的共同特征态|\alpha, \beta\rangle。非交换的物理观测物不共享共同的特征态，因此不支持一致的联合测量。联合测量的不一致性（不确定性）的大小是由交换子来表征的。

不确定性关系

考虑一个可观测的L，其特征值为\lambda（即L|\lambda\rangle=\lambda|\lambda\rangle），在重复实验中对一个状态|\psi\rangle进行测量（准备|\psi\rangle \rightarrow测量L\rightarrow重复）。可能的结果\lambda出现的概率为p(\lambda)=|\langle\lambda\mid \psi\rangle|^{2}。

• 平均值（期望值）:

\langle L\rangle=\sum_{\lambda} \lambda p(\lambda)=\langle\psi|L| \psi\rangle . \\

• 方差 (二阶矩):

\operatorname{var} L=\sum_{\lambda}(\lambda-\langle L\rangle)^{2} p(\lambda)=\left\langle\psi\left|(L-\langle L\rangle \mathbb{1})^{2}\right| \psi\right\rangle . \\

引入可观察因素（L围绕其期望值的波动）。

\Delta L=L-\langle L\rangle \mathbb{1} \text {, } \\

方差可以写为 \operatorname{var} L=\left\langle(\Delta L)^{2}\right\rangle.

• 标准差: 表明L的测量的不确定性

\operatorname{std} L=(\operatorname{var} L)^{1 / 2}=\left\langle(\Delta L)^{2}\right\rangle^{1 / 2} . \\

不确定性关系：对于在任何给定状态上测量的任何一对观察变量A和B：

(\operatorname{std} A)(\operatorname{std} B) \geq \frac{1}{2}|\langle[A, B]\rangle| \\

换句话说，不确定性的乘积不能小于交换子期望值大小的一半。对于可互换观测点([L, M]=0), (std L ) (std M) \geq 0，可以有\operatorname{std} L=\operatorname{std} M=0同时存在，即L和M可以被完全确定地联合测量。对于非交换观测变量，如果|\langle[L, M]\rangle| \neq 0，就不可能同时有std L=\operatorname{std} M=0。即L和M不能被确定地联合测量。

假设A和B是Hermitian算子。让|\phi\rangle=(A+i x B)|\psi\rangle。对于x \in \mathbb{R}中的任何选择有

\langle\psi|(A-i x B)(A+i x B)| \psi\rangle=\langle\phi \mid \phi\rangle \geq 0 \text {. } \\

也就是

\begin{aligned} &\langle\psi|(A-i x B)(A+i x B)| \psi\rangle \\ &=\left\langle\psi\left|A^{2}+i x[A, B]+x^{2} B^{2}\right| \psi\right\rangle \\ &=\left\langle B^{2}\right\rangle x^{2}+i\langle[A, B]\rangle x+\left\langle A^{2}\right\rangle \geq 0 \end{aligned} \\

其中\langle *\rangle是\langle\psi|*| \psi\rangle的速记符号。二次方程\langle B^{2}\rangle x^{2}+i\langle[A, B]\rangle x+\langle A^{2}\rangle=0没有（或只有一个）实根，意味着其判别式\Delta必须为负（或零），即

\Delta=(i\langle[A, B]\rangle)^{2}-4\left\langle B^{2}\right\rangle\left\langle A^{2}\right\rangle \leq 0 \\

因此，对于任何A，B的任何状态|\psi\rangle有

\left\langle A^{2}\right\rangle^{1 / 2}\left\langle B^{2}\right\rangle^{1 / 2} \geq \frac{1}{2}|\langle[A, B]\rangle| \\

不确定性关系式可以通过替换A\rightarrow\Delta A和B\rightarrow\Delta B来显示。

动力学算子

• 薛定谔：状态在时间上演化，算子保持固定

\langle L(t)\rangle=\langle\psi(t)|L| \psi(t)\rangle \\

• 海森堡：算子在时间上演化，状态保持固定

\langle L(t)\rangle=\langle\psi|L(t)| \psi\rangle \\

如果

|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi\rangle \Rightarrow L(t)=U(t)^{\dagger} L U(t) \\

两者是一致的。也就是说

\langle L(t)\rangle=\left\langle\psi\left|U(t)^{\dagger} L U(t)\right| \psi\right\rangle . \\

注意：一次只能应用一种，即状态或算子是与时间相关的，而不是两者。在海森堡中，一个算子的时间演化

L(t)=U(t)^{\dagger} L U(t) \\

由海森堡矩阵描述

i \hbar \partial_{t} L(t)=[L(t), H] \\

对于小的\Delta t（与\hbar=1 ）来说

\begin{aligned} &L(\Delta t)=U(\Delta t)^{\dagger} L U(\Delta t) \\ &=e^{i H \Delta t} L e^{-i H \Delta t} \\ &=(\mathbf{1}+i H \Delta t+\ldots) L(\mathbf{1}-i H \Delta t+\ldots) \\ &=L+i(H L-L H) \Delta t+\ldots \\ &=L-i[L, H] \Delta t+\ldots \end{aligned} \\

因此

i \partial_{t} L=i \frac{L(\Delta t)-L}{\Delta t}=[L, H] \\

相应地，其期望值演化为

i \hbar \partial_{t}\langle L(t)\rangle=\langle[L(t), H]\rangle . \\

如果[L, H]=0，海森堡方程公式意味着\partial_{t} L=0，也就是说，L在时间上是不变的。如果L与哈密顿H互换，则可观测的L是一个守恒量（或运动的积分）。

参考文献

1. Leonard Susskind and Art Friedman, Quantum Mechanics (the Theoretical Minimum). Basic Books, New York. (2014)