在量子傅里叶变换的基础上，我们可以实现量子相位估计算法。量子相位估计算法也是量子计算算法中的最重要的子算法之一。

1 相位估计

假设有一个幺正算符U（其本征值的模应为1），它有一个本征态 ，相应的本征值为 ， 是未知的。相位估计算法的目的就是估计出 。接下来我们用 表示真实的相位，用 表示我们估计得到的相位。

1.1 量子傅里叶变换

在量子相位估计算法流程中，我们需要用到量子傅里叶逆变换，因此我们先回顾下量子傅里叶变换与逆变换的作用。

在上一篇笔记中，我们详细介绍了量子傅里叶变换，并给出推导：

量子傅里叶变换可以表示为

1.2 量子相位估计的流程

量子相位估计的流程

图中，位于上方的寄存器暂称为辅助寄存器，它包括t个量子比特，t的选择取决于两个因素：我们希望得到的估计相位 的精度的位数;我们以多大概率希望相位估计过程成功。我们将在后续的分析中认识到这两点。

位于下方的寄存器存储着态 ，它的量子比特数量应刚好可以表示 。

直观的理解量子相位估计的流程：首先将U的相位（在傅里叶基下）写入到辅助寄存器中，然后我们利用量子傅里叶逆变换将它从傅里叶基变换到计算基下，而计算基下我们是可以进行测量的。

1.3 数学推导

相位估计的任务是：估计幺正算符U的相位。 ，其中 为U的本征态， 是相应的本征值。

相位估计电路执行步骤如下：

1. 初态：
2. 叠加：在辅助寄存器上执行t-bit H门，
3. 受控幺正算符：U是我们要估计的算符，用CU来表示受控的U，CU的行为为：仅当控制比特为 时，对目标比特应用U，否则保持不变。
   
   
   
   应用t个受控门 , ，且根据关系式 。有
   
   
   这里的k表示n-bit二进制数的整数表示。
4. 量子傅里叶逆变换：由于量子傅里叶变换可以记为：
   
   我们将x取为 ，则刚好得到 ，即 。因此要恢复态 ,只需要在辅助寄存器上应用量子傅里叶逆变换。
5. 测量：此时寄存器的状态为： 。考虑到 中的应该是一个小数（ ,n为整数，则只有小数部分有意义）， 假设二进制小数 （ ），如果 ,我们可以精确到得到 。而如果 ,我们依旧得到了一个足够精确的近似解。
   

可以证明：如果想要以至少 的概率获得 精确到n位的估计，需要t满足： ，（这里[x]表示向下取整）。详细证明可以参考《Quantum Computation and Quantum Information》第五章。

1.4 本征态问题

在上述流程中，我们需要使用到算符U的一个本征态。如果我们不知道如何制备它的本征态，此时算法如何运行？假设我们制备了一个态 ，而U的本征态为 ，对应本征值为 。将 按照U的本征态展开 。直观地分析，现在运行相位估计算法，应当会输出一个接近于 的态， 是 的一个很好的估计。对这个态进行测量我们以 , （ ）的概率得到 。也就是说即便我们不特意制备U的本征态依旧可以得到其本征值的信息。

1.5 算法流程

算法：量子相位估计

输入：1. 一个产生受控门 的黑盒

2. U的一个本征值为 的 本征态

3. ([x]表示向下取整）个初始态为 的量子比特

输出： 一个n比特的估计

运行时间： 操作和 黑盒的各一次调用。成功的概率至少为

流程：

1. 初始态

2. 制备叠加态

3. 通过黑盒

4. 执行量子傅里叶逆变换

5. 测量辅助寄存器

2 Qiskit中实现量子相位估计算法

我们尝试在Qiskit中实现并验证一下相位估计算法。

2.1 T-Gate

T门的矩阵表示为： ，则 ，

我们可以知道 。

我们将用三个量子比特计算出其精确值。

创建电路

import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import math

from qiskit import Aer,transpile,assemble
from qiskit import QuantumCircuit

from qiskit.visualization import plot_histogram

qpe = QuantumCircuit(4,3)
qpe.x(3) # 态|1>
qpe.draw('mpl')

添加H门

for qubit in range(3):
qpe.h(qubit)

qpe.draw('mpl')

执行受控T门

repetitions = 1
for help_qubit in range(3):
for i in range(repetitions):
qpe.cp(math.pi/4,help_qubit,3) # 这是CU 也就是 受控的T门
repetitions *= 2
qpe.draw('mpl')

定义量子傅里叶逆变换 ，这个电路的分析我们在上一篇中介绍过。

def qft_dagger(qc,n):
for qubit in range(n//2):
qc.swap(qubit,n-qubit-1)
for j in range(n):
for m in range(j):
qc.cp(-math.pi/float(2**(j-m)),m,j)
qc.h(j)

将量子傅里叶逆变换添加到电路中并测量结果：

qpe.barrier()
qft_dagger(qpe,3)
qpe.barrier()
for n in range(3):
qpe.measure(n,n)

qpe.draw('mpl')

模拟电路

aer_sim = Aer.get_backend('aer_simulator')
shots = 2048
t_qpe = transpile(qpe, aer_sim)
qobj = assemble(t_qpe, shots=shots)
results = aer_sim.run(qobj).result()
answer = results.get_counts()

plot_histogram(answer)

输出的结果十进制中为：1。根据我们上面的分析即 ，这里n=3，故 。

2.2 精度问题

2.2.1 三比特模拟

上述实验中， 是可以被精确估计出来的。现在我们考虑无法精确估计的情况。

我们取 。

执行电路，

qpe2 = QuantumCircuit(4,3)

for qubit in range(3):
qpe2.h(qubit)

qpe2.x(3)

angle = 2*math.pi / 3

repetition = 1
for help_qubit in range(3):
for i in range(repetition):
qpe2.cp(angle,help_qubit,3)
repetition *= 2

qft_dagger(qpe2,3)

for n in range(3):
qpe2.measure(n,n)

qpe2.draw('mpl')

模拟

aer_sim = Aer.get_backend('aer_simulator')
shots = 4096
t_qpe2 = transpile(qpe2, aer_sim)
qobj = assemble(t_qpe2, shots=shots)
results = aer_sim.run(qobj).result()
answer = results.get_counts()

plot_histogram(answer)

我们期待的结果是 ,此时

观测模拟结果，我们得知最有可能的结果是010(bin) = 2(dec) 和011(bin)=3(dec)，他们分别对应着 和 。真实的结果在这两个值之间，这给我们带来了不确定性及不精确性。

根据之前的理论分析，我们想要获得更精确到结果就需要用到更多辅助比特。

2.2.2 五比特模拟

这次我们使用五个辅助量子比特进行计算，并观测结果。

qpe3 = QuantumCircuit(6,5)

for qubit in range(5):
qpe3.h(qubit)

qpe3.x(5)

angle = 2*math.pi / 3

repetition = 1
for help_qubit in range(5):
for i in range(repetition):
qpe3.cp(angle,help_qubit,5)
repetition *= 2

qft_dagger(qpe3,5)

for n in range(5):
qpe3.measure(n,n)

aer_sim = Aer.get_backend('aer_simulator')
shots = 40960
t_qpe3 = transpile(qpe3, aer_sim)
qobj = assemble(t_qpe3, shots=shots)
results = aer_sim.run(qobj).result()
answer = results.get_counts()

plot_histogram(answer)

这次最有可能的测量结果是01001（decimal 11） 和 01010（decimal 10）。对应计算得到的 为： 和 。这两个结果与理论值的差距仅为 3%和6%了。

参考资料：《Quantum Computation and Quantum Information》

Qiskit