Overview

数学家痴迷于精妙的结构，他们能构造出一些抽象的东西并且预言它们的运行规律。这些结构在当时看来可能无法理解，但历史往往证明，数学结构会有一些物理上的对应。这一节我们就来讨论一下所谓辫群Braid Group和扭结knots。

不妨考虑一些简单的模型，每个模型大概是一个小球连上一段棉线，再连接到另一个小球上。值得注意的是这里存在序列关系，棉线只能单向的从小球A拉到小球B，在任何位置都不能用折返之类的操作。当然你也可以把这个模型理解为一个粒子的时间演化，它从状态A变到了状态B，这段棉线保留了演化过程的相位信息。

一个这样的模型是平庸的，可多个模型放在一起，事情就不对了，棉线(String)的编织操作会给系统引入很多信息。而这种信息无法被连续变化消除，所以是一种拓扑上的结构。这种事情在鞋带之类的东西上很容易观测到，但在微观粒子层面上就更加trick了。微观粒子具有全同性，所以模型两端的粒子其实是一个东西，重要的东西便是演化过程中粒子之间的交换作用。通常来讲的微观粒子包括费米子和玻色子，它们的本质不同就是交换对称性，费米子有所谓交换反对称，换言之交换操作后会带上 的相位 .可惜只凭借 相位无法构造量子计算需要的操作，这时候科学家构思了所谓anyon，能够在交换操作之后带上别的什么相位，这样Platform就足够大了。

幸运的是，数学家已经研究过这种棉线的编织问题，并且用群论的语言漂亮的写了出来，也就是Braid Group。我们在OverView部分简单的看一下群论是怎么对接到这个物理实体上的。。先大概猜一下辫群是个什么东西。辫群系统处理的问题是可以分解的，每一步只涉及相邻原子的交换操作，步骤与步骤之间可以连接起来。两个原子正向交换一次再反向交换一次，编织操作就会被还原，所以正交换和反交换是不同的操作。另外我们关心序列问题，所以不允许反向演化。

这里考虑四个模型组成的系统 ( )，之后可以把n向高维推广。先考虑两组集合，分别含有四个元素（不妨把元素写成一维序列），A集合的元素到B集合的元素存在一对一的连接，这种连接被称为Braid

Generators and relations

群可以用三个生成元构造，给集合中元素从1到n编号的同时，也给生成元编号了。举例来说， 会将第i个原子向 的位置编织，i对应的string (棉线) 处于 的下方。这里能够看到，string向下编织和向上编织对应两种不同的结构，这个对应的结构可以写成

编织操作应该是可以合成的，例如上面依次对3和2做交换，可以写成 的形式。之后我们写出 群的一些运算性质。。嗯，公式有很好的对称性，看来有戏，反应快的话能够看出这些结构已经满足了群论的公理

现在的信息能够指导我们做一些Braid Group运算了，能看出左图连续变化能得到右图，但是这种抽象思维并不可靠。于是我们把右图拆成五个步骤，写成辫群生成元的乘积，再加上一些代数运算，结果就舒服了

Braid Group

Braid Group的故事可以从1891年说起，Adolf Hurwitz研究曲面Ramified Covering的时候引入了相近的概念。之后在1920年，Emil Artin为了研究三维空间里棉线缠绕的拓扑结构，指出含有n条弦的Braid对应了一个群，并且直接构建了Braid Group这套理论。之后许多拓扑学家和代数学家的工作让辫群成为了周密完备的结构，Werner Burau甚至用同调 (Homological)的语言重写了辫群这套东西，实在令人叹为观止。不过这里我们先从跟随Artin的思路学习一下这个东西，并尽量用数学的语言来表达。

Def 1.1.

Artin Braid group 由 个生成元 构建，并且存在 'braid relations'

群是比较trivial的，但当 会出现一些非阿贝尔的东西，为了研究这些东西，会借助所谓Homomorphism (同态) 的工具。Homomorphism是为了构建两个在底层结构上相同的群，它大概就是先给生成元建立从A群到B群的映射，然后把这种映射和群的运算逻辑作用在一起，观察下能不能交换。例如f定义了从群A到群B的映射，x，y是群的元素， 是群的方法，如果满足下面的关系就说群A和群B是同态的（或者可以认为群就是面向对象编程时建立的对象，尽管两个对象包含的方法有差异，但如果对象A的方法都能移植到对象B上调用，那可以说这两个对象是Homomorphism同态的。另外如果考虑从一个对象建立两个实例，这两个实例就是Isomorphism同构的）

我们这里从辫群 到群 做一个homomorphism , 的群元 满足 braid relation，我们有这样的引理

Lemma 1.2

如果 的群元 满足braid relations，那么将有一个特别的群同态 使得 对所有的 成立

有了这些信息我们可以尝试建立辫群 到对称群 的同态，对称群的元素大概是集合里面的一些置换。定义一些交换算符 ，其中 会交换集合 中 和 的位置，但保持其他元素位置不变。在对称群内Check一下辫群的性质，可以发现 满足braid relation，那么从Lemma 1.2能得到一个特别的同态 ，对所有的 有 . 对称群是非常经典的概念，这条同态建立起来后，就用很多现成的轮子给我们用了，首先很重要的一条就是阿贝尔理论。

对于Abelian Group，任意两个元素都是可以交换的，所以它又被称为Commutative Group。但很显然， 群在 的时候就有一些群元不可交换，这种情况我们叫他nonabelian，这时候同态关系又告诉我们辫群 也是nonabelian的,

Lemma 1.3

辫群 在 的情况下是非阿贝尔的.

辫群有所谓natural inclusion的性质，这是说我们可以建立起从小辫群到大辫群的同态，从Def 1.1可以看出，对 有 ，群同态可以写成

这时候如果考虑与对称群 的同态关系，就能写出对称群相应的canonical inclusion ，形象化地说就是给原有的置换关系附加了固定的 ，这步过程可以用图表来说明，

之后我们尝试把辫群解释到它的几何结构上，下面 表示实数集上的闭区间 ，棉线的编织过程会产生topological interval，不过这里拓扑空间到 是同胚(homeomorphic)的。还是先猜一下要做什么。。首先要在集合上定义一些点，这些点的置换操作会带来相位，这些相位可以视为离散的拓扑间隙。那么点和拓扑间隙组成的模型就是弦(strings)，之后做一个映射把弦同胚的转到 上，用数学的语言说就是

Def 1.4.

一个几何辫是一个集合 ，这个集合由n个被称为弦的Disjoint Topological Intervals构成(其中 )，存在投影 将每条弦同胚的映射到 上，并且有

这样的话b的每条弦会对应一个空间 ，这会建立从点 到点 的连接，以前的集合 会被连接到一个新的序列 ，这被称为underlying permutation. 到这里我们就可以把原子的置换操作用数学写出来。

这里先考虑一个一维序列，x,y 是 的坐标，用x轴坐标表示粒子的初始位置，t轴坐标是单向向下的，描述了某种演化关系。从上图中能看到辫群潜在的置换，随着t从0到1的演化， 被置换为了 . 从上图也能想到有很多辫群是等同的，例如在n条弦上有两个辫群 ，如果b经连续变形能成为 ，就说 和 是Isotopic(同位？)的，当然这件事情在拓扑上有更精密的定义。值得一提的是，我们可以用Isotopic来定义辫群的相等。

还有一个重要的点是辫群的乘法，我们会希望通过乘法运算构建更复杂的辫群。可以考虑两个n弦的辫 , 它们的乘积 是一些点 的集合，这里为了处理 的序列关系对t做一些trick的定义， 对应

这样 就定义了n弦辫群上的乘法，乘法满足结合律并且有trivial的 辫群作为neutral element.

Braid diagrams

一次置换过程可能对应两种情况，即是说弦 可以从 的下方穿过，也可以从上方穿过，这两者在拓扑上不等价。在群论语言中，这个过程被写进了演化过程中y轴坐标的变化。而现在我们希望把在纸上画出Braid diagrams来描述这个过程，这实际上是沿第二条坐标轴把 向 做投影，并且指出交叉点处哪根弦"在下方"。用数学的语言说，Braid diagram是一个集合 ，这个集合由n条被称为strand的topology interval构成。需要注意的是 上每个点至多属于两条strand，交点处会删掉一条strand，被删掉的弦被称为undergoing，另外一条弦则是overgoing。

到这里关于辫群我们已经有了足够的信息，下面将尝试把它对接到物理模型上。

Topological Quantum Computing

所谓拓扑量子计算的目标是实现一种错误率极低的量子比特，借助非阿贝尔交换统计的手段能观察到置换作用产生的影响，这里的置换作用对应了拓扑不变量，所以能在一定程度上保持稳定。这类具有非阿贝尔统计性质的系统曾由Alexei Kitaev在一些二维的量子多体系统中被观测到。为了实现某种量子计算，我们期待在一个便于操控的系统中找到一些由Anyon特性的准粒子，这里目前的研究重点是所谓Majorana费米子。

Abelian anyons

我们首先分析满足Abelian统计的任意子，粒子的交换作用会产生一个相位 ，对粒子波函数造成影响 ，这里相位 可以写成一个有理数和 的乘积。由于Aharonov-Bohm效应的存在，电磁场作用下会出现Abelian Anyon，它是由磁通和电荷组合成的准粒子。这件事在固体系统中很常见，前面提到了Hofstadter模型，在这类二维晶格点阵中的电子Hopping会带上一个相位 ，而这个相位是一个拓扑不变量，与Hopping的轨迹无关。现在考虑这类 准粒子的置换操作，一次置换可以表示为一组共轭的Hopping，用产生湮灭算符大概可以写成下面的形式。

The honeycomb model

Kitaev曾经指出honeycomb model中存在阿贝尔任意子，我们就跟随他的思路看一看Anyon的物理实现。首先在Honeycomb晶格中放置一些1/2自旋的粒子，只考虑最近邻的相互作用，并且分开考虑 方向的置换作用，值得一提的是这里不需要外加磁场。Hamiltonian可以写成下面的形式，

这个模型的求解在石墨烯的TightBinding模型中经常遇到，但这里为了引出Majorana fermions，我们会想办法把1/2自旋粒子映射到准粒子上面。第一件事是把二维晶格转成一维原子链，x和y方向的hopping容易解决，将晶格变形使得x，y hopping出现在一条直线上就可以，变形后的结构被称为Brick-wall晶格

对z轴的处理会麻烦一点，这里我们借助Jorden-Wigner变化，黑色和白色两种子晶格会分别处理，这个过程用数学写成下面的形式

做代换就能得到1维的Hamiltonian，但这里先引入Majorana算符， 指费米子在白色或是黑色的晶格上

这样Hamiltonian可以写为，这里r是z-links的中点坐标

对Hamiltonian做傅里叶变化后能得到这个系统的spectrum信息，大体上说由于 取值的不同，spectrum可能有Gap也可能没有Gap，在满足下面条件时Spectrum是Gapless的。而当Spectrum有Gap的时候，honeycomb模型的激发便是Abelian Anyon，这一点可以从微扰论看到。

Non-abelian anyons

尽管已经在无磁场的固体系统中找到了Anyon，但上面的Abelian anyon进行置换只能由两种相位，0或是-1。注意到 ，所以弦 在弦 上方或下方的置换操作是等价的，这些简单的相位不足以实现辫群描述的topological invarient。下一步想要看到的是置换操作带来其他什么相位的准粒子，而这就是辫群要对接的物理实体，这就是非阿贝尔粒子: the Majorana fermians

Majorana fermian

所谓Majorana fermian大约来自于一个思想实验，我们假定更小的什么粒子组成了费米子，这种粒子也满足反对易关系。现在考虑2n个在空间上独立的Majorana ，两个一组便能拼接为费米子，

反过来也可以用费米子生成Majorana。。

这里Majorana是厄密的并且满足反对易关系，

这里厄密性会导致尴尬的情况，比如我们naive地去写占据数算符 ，因此Majorana态的占据并没有意义。但是可以借助费米子的占据数算符来表示Majorana fermions的数量关系，例如简并度

Non-abelian statistics of Majorana fermions

Majorana费米子的拓扑性质会通过统计上的变化展现出来，有了上面这些信息之后我们尝试借助辫群推导出可观测的非阿贝尔统计性质。一个能展现出良好非阿贝尔统计性质的系统，大概就是由一个非简并的基态，基态到激发态之间被Gap隔开，但是有一些绝热的交换作用能把系统从基态抛到激发态。还是考虑 2n 个空间局域化的Majorana费米子 ，通过幺正的辫群表示(例如 Jones representation)来描述这个系统。具体来说这是一个 的辫群，辫群的生成元是置换算符 (为了避免和Pauli矩阵符号冲突，这里用b来表示)，下面是一些braid relation，

这里还是先猜一下要做的事情，由于Qubit的操作是幺正的，所以要求辫群能幺正并且能局域化的表达在一个矩阵里(帮助我们做数值模拟)。还要证明辫群能很好的兼容Majorana费米子，比如对粒子的置换操作能被转换到Majorana算符上去。

通过辫群所谓的spinor representation能够把辫群 同态的转到酉群 上去，

这样前面的Majorana operators可以用Pauli矩阵的张量积写出来，

这里Majorana operator满足反对易关系，

这个同态变化会把辫群 的生成元 转成下面的形式，

这样就能将辫群的置换操作写成Majorana operator的置换算符，并且可以看到置换操作直接作用在Majorana准粒子上，

到这里辫群和Majorana fermions的对接基本完成了，可以看到拓扑量子计算将会以辫群为语言构建逻辑门，并用非阿贝尔统计为手段进行量子比特的Readout。这里面有无数深坑，但众多新奇的数学工具已经建设完成，它们将支持拓扑量子计算继续前进。

Reference:

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