声明：博主现在是CUHK一名博一学生，方向为 Robot Learning，其实和 quantum 没什么关系。写这一系列文章的动机呢，是我这学期选了这门课 (MAEG5110 Quantum Control and Quantum Information， 纯粹因为兴趣)。前段时间赶paper，错过了几节课，现在打开zoom就和听天书一样，所以趁周末赶紧复习复习（预习预习）。如果有什么不正确的地方，烦请各位大佬评论区批评指正。
参考教材：老师的ppt和 Quantum Computation and Quantum Information

• 量子计算入门Ⅲ：量子门电路
• 内容回顾
• 量子计算机结构
• 量子门
• 量子电路图基本构件
• 单量子比特逻辑门
• 单量子总结
• 一些有用的关系
• 布洛赫球面的解释
• 名词解释
• 布洛赫球面诸点与纯态的对应
• 布洛赫球面中的单量子比特逻辑门
• 多量子比特逻辑门
• 二量子比特
• 常用的二量子比特逻辑门
• 二量子逻辑门之间的关系
• 三量子比特逻辑门
• 常用的三量子比特逻辑门

内容回顾

前两篇主要介绍了量子计算的四个公设

公设 1：封闭量子系统由称为状态空间的复杂内积空间中的单位向量描述。

公设 2：闭合量子系统的演变由酉变换来描述 .

公设 3：令 为状态空间在一组完备的正交子空间上的投影 (projectors)，。这一组投影定义了测量。对 进行测量，得到结果为 的概率为

测量不可避免了干扰了系统，使其坍缩到了后测量状态 (post-measurement state)

公设 4：复合物理系统的状态空间是其成员系统状态空间的张量积。

量子计算机结构

量子门

量子电路图基本构件

单量子比特逻辑门

单量子总结

一些有用的关系

布洛赫球面的解释

名词解释

1. 布洛赫球面：以自旋物理与核磁共振专家费利克斯·布洛赫命名的布洛赫球面是一种对于双态系统中纯态空间的几何表示法 [1]1，在数学中也被称作黎曼球面。布洛赫球是一个单位二维球面 （注意：只是球面而非球体）。
2. 纯态：纯态 (pure state) 由一个相同统计系综(ensemble)所构成，而相对于纯态的混态 (mixed state) 则可以分解两个以上的系综。纯态S可用狄拉克符号的右括向量表示 [2]2，也就是我们在前两章介绍的量子比特状态表示法：
3. 系综：在统计物理中，系综（Ensemble）代表一定条件下一个体系的大量可能状态的集合。

布洛赫球面诸点与纯态的对应

布洛赫球面的北极和南极通常分别对应于电子的自旋向上态和自旋向下态标准基矢的0态和1态 [1]1。

对任意纯态 ，其中

设

• 称为共同相位 (global phase)：在 中都有这一项，因此对 的影响相同。从测量的角度看，对 和 的测量结果为 的概率分别为 ，因此共同相位是无法测量的，可以舍弃不看。
• 称为相对相位 (relative phase)：影响可以反映在球面上。

故得 . 其中 .

将 的所有分布在 画出，即得到布洛赫球面。

布洛赫球面中的单量子比特逻辑门

• 绕 x 轴旋转 180 度 ()
• 绕 z 轴旋转 180 度 ()
• 绕 y 轴旋转 180 度 ()
• 绕 xz 平面中与 z 和 x 轴角度均成 45 度的轴旋转 180 度 ()

这也符合上面提到的关系

• 绕 z 轴旋转 90 度 ()
• 绕 z 轴旋转 45 度 ()

多量子比特逻辑门

二量子比特

常用的二量子比特逻辑门

上述的逻辑门可以分为下面这样的两个单逻辑门，其变换是这两个单逻辑门的张量积。

许多门都是受控类型的：一个量子位控制另一个。

1.Controlled-NOT (CNOT)

2.Controlled-Z (CZ)

3.Controlled-phase (C-phase)

4.SWAP

二量子逻辑门之间的关系

三量子比特逻辑门

常用的三量子比特逻辑门

1. Toffoli gate

2. Fredkin gate

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